Matemática Aplicada - Aula 13 - Função Exponencial e logarítmica.

Função exponencial

Função exponencial crescente e decrescente

A equação exponencial é um caso particular de equação. Equação é uma sentença matemática que possui igualdade e, pelo menos, uma incógnita. Resolver equações é encontrar os valores que fazem com que a sentença matemática seja verdadeira, e com as equações exponenciais não é diferente.

Buscamos encontrar o valor para a incógnita que faz com que a igualdade seja válida, para isso utilizamos técnicas de equação e as propriedades de potência, com o objetivo de igualar as bases dos dois lados da igualdade para que seja possível igualar os expoentes da equação.

Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um.

Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante.

Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria definida.

Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor.

Exemplos:

f(x) = 4x
f(x) = (0,1)x
f(x) = (⅔)x

Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.

Tabela função exponencial
crescente

O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x.

Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).

Abaixo representamos o gráfico da função exponencial.

Função Crescente ou Decrescente

A função exponencial pode ser crescente ou decrescente.

Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é uma função crescente.

Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.

Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua imagem também aumenta, como apresentado no primeiro gráfico.

Tabela função exponencial
decrescente

Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.

Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na tabela abaixo.

Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.

Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto maior o x, mais perto do zero a curva exponencial fica.

Função logarítmica

A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é definida como:

 f(x) = logax , com a real positivo e a ≠ 1.

Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, y = logax ⇔ ay = x.

Função exponencial e logarítmica

Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.

Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função logarítmica.

No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática aplicada - Aula 12 - Produtos Notáveis

Certos produtos aparecem com bastante frequência no cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por exemplo. Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz, significa: produto _ “resultado da multiplicação”, e notável _ “que se destaca”. O único problema é que, às vezes, eles aparecem e a gente nem nota!

Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva, ou então, de forma mais direta, através de algumas regras que veremos a seguir.

Quadrado da Soma de dois Termos 

Quadrado da Soma de dois Termos pode ser calculado através da propriedade distributiva.

Então temos: (a + b)² = a² + 2ab + b²; 

Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 






Quadrado da Diferença de dois Termos 

Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos.

Então temos: (a + b)² = a² - 2ab + b²;

Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 

Produto da Soma e Diferença de dois Termos

O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores.

Portanto: (a + b) x (a – b) = a² – b².

Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”.






Cubo da soma de dois termos

Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para produtos com o seguinte formato: (a + b) (a + b) (a + b);

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a + b)³

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos
o seguinte para esse produto notável:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³




Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios: (a - b) (a - b) (a - b). 

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a - b)³

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável:
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³





CURIOSIDADE: 

* Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos. 
Veja: Qual o produto de (41) x (39)?
Transformando a multiplicação para um produto notável, temos: (40 + 1) x (40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599.

**Podemos escrever qualquer número natural como uma soma. Assim, quando tivermos de calcular o quadrado de um número natural, o quadrado da soma poderá ser utilizado para simplificar os cálculos. 

Veja: 24² = (20 + 4)² = 20² + 2 . 20 . 4 + 4² = 400 + 160 + 16 = 576

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/202

Matemática Aplicada - Aula 10.2 - Teorema de Pitágoras

Ao falarmos sobre o Teorema de Pitágoras, estamos fazendo referência a um dos mais famosos teoremas da Matemática haja vista a sua aplicação a problemas do cotidiano, como por exemplo, no cálculo de um dos lados de um triângulo retângulo.
Vale ressaltar que apesar do teorema levar o seu nome, Pitágoras de Samos, o mesmo não teria sido descoberto por ele, pois, existem registros datados de 1.800 a.C., que mostram que a medida dos lados dos triângulos já era conhecido pelos babilônios, porém foi Pitágoras quem conseguiu transformar esse conhecimento em uma teoria bem fundamentada e sendo até hoje por nós utilizada.

O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Essa figura geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto.
É usado para determinar a medida desconhecida de um lado, uma vez conhecidas as medidas dos outros dois lados.
O enunciado desse teorema é: “A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.”
Em forma de equação, a fórmula do Teorema de Pitágoras é: .

Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros positivos, o triângulo é chamado de triângulo pitagórico.
Neste caso, os catetos e a hipotenusa são denominados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para verificar se três números formam um trio pitagórico, usamos a relação a2 = b2 + c2.
O mais conhecido trio pitagórico é representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a hipotenusa igual a 5, o cateto maior igual a 4 e o cateto menor igual a 3.

© Direitos de autor. 2022: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/07/2022

Matemática Aplicada - Aula 10.1 - Razões trigonométricas de um triângulo retângulo

Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulo retângulo. Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, pois resultam da divisão entre as medidas dos seus lados.

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior lado, o cateto "oposto" é aquele em frente a um determinado ângulo, e um cateto "adjacente" é aquele ao lado de um determinado ângulo. 

A hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre o lado oposto ao ângulo reto. Ela é o maior lado do triângulo retângulo. Os outros dois lados são chamados cateto oposto e cateto adjacente. Esses lados são definidos em relação a um ângulo. 

O cateto oposto fica em frente a um determinado ângulo. O cateto adjacente é aquele que fica ao lado de um determinado ângulo, mas não é a hipotenusa.
O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a 90º). O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

Os valores do seno, do cosseno e da tangente são calculados em relação a um determinado ângulo agudo do triângulo retângulo.
De acordo com a posição dos catetos em relação ao ângulo, ele pode ser oposto ou adjacente, conforme imagem abaixo:
Seno (Sen alfa )
É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
sen = cateto oposto / hipotenusa
Cosseno (Cos alfa)
É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
cos = cateto adjacente / hipotenusa.
Tangente (Tg alfa)
É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
tg cateto oposto / cateto adjacente.

Resumo de Razões Trigonométricas está disponível em: 21_08_02 Razões Trigonométricas.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020