Certos produtos aparecem com bastante frequência no cálculo algébrico,
em Geometria Analítica, por exemplo. Os Produtos Notáveis, como o próprio nome
já diz, significa: produto _ “resultado da multiplicação”, e notável _ “que se destaca”. O único
problema é que, às vezes, eles aparecem e a gente nem nota!
Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na
multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados
usando-se a propriedade distributiva, ou então, de forma mais direta, através
de algumas regras que veremos a seguir.
Quadrado da Soma de dois Termos
Quadrado da Soma
de dois Termos pode ser calculado através da propriedade distributiva.
Então temos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”.
Quadrado da Diferença de dois Termos
Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos.
Então temos: (a + b)2 = a2 - 2ab + b2;
Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”.
Quadrado da Soma de dois Termos
Então temos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”.
Quadrado da Diferença de dois Termos
Então temos: (a + b)2 = a2 - 2ab + b2;
Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”.
Produto
da Soma e Diferença de dois Termos
O Produto da
Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos
anteriores.
Portanto: (a + b) x (a – b) = a2 – b2.
Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”.
Cubo da soma de dois termos
Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para produtos com o seguinte formato: (a + b) (a + b) (a + b);
Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a + b)3
Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos
o seguinte para esse produto notável:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios: (a - b) (a - b) (a - b).
Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a - b)3
Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
CURIOSIDADE:
* Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos.
Veja: Qual o produto de (41) x (39)?
Transformando a multiplicação para um produto notável, temos: (40 + 1) x (40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599.
**Podemos escrever qualquer número natural como uma soma. Assim, quando tivermos de calcular o quadrado de um número natural, o quadrado da soma poderá ser utilizado para simplificar os cálculos.
Veja: 242 = (20 + 4)2 = 202 + 2 . 20 . 4 + 42 = 400 + 160 + 16 = 576
© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/202
Portanto: (a + b) x (a – b) = a2 – b2.
Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”.
Cubo da soma de dois termos
Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a + b)3
Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos
o seguinte para esse produto notável:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios: (a - b) (a - b) (a - b). Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a - b)3
Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
CURIOSIDADE:
* Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos.
Veja: Qual o produto de (41) x (39)?
Transformando a multiplicação para um produto notável, temos: (40 + 1) x (40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599.
**Podemos escrever qualquer número natural como uma soma. Assim, quando tivermos de calcular o quadrado de um número natural, o quadrado da soma poderá ser utilizado para simplificar os cálculos.
Veja: 242 = (20 + 4)2 = 202 + 2 . 20 . 4 + 42 = 400 + 160 + 16 = 576
© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/202
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