Matemática aplicada - Aula 16 - Produtos Notáveis

Certos produtos aparecem com bastante frequência no cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por exemplo. Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz, significa: produto _ “resultado da multiplicação”, e notável _ “que se destaca”. O único problema é que, às vezes, eles aparecem e a gente nem nota!

Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva, ou então, de forma mais direta, através de algumas regras que veremos a seguir.

Quadrado da Soma de dois Termos 

Quadrado da Soma de dois Termos pode ser calculado através da propriedade distributiva.

Então temos: (a + b)² = a² + 2ab + b²; 

Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 






Quadrado da Diferença de dois Termos 

Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos.

Então temos: (a + b)² = a² - 2ab + b²;

Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 

Produto da Soma e Diferença de dois Termos

O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores.

Portanto: (a + b) x (a – b) = a² – b².

Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”.






Cubo da soma de dois termos

Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para produtos com o seguinte formato: (a + b) (a + b) (a + b);

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a + b)³

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos
o seguinte para esse produto notável:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³




Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios: (a - b) (a - b) (a - b). 

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a - b)³

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável:
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³





CURIOSIDADE: 

* Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos. 
Veja: Qual o produto de (41) x (39)?
Transformando a multiplicação para um produto notável, temos: (40 + 1) x (40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599.

**Podemos escrever qualquer número natural como uma soma. Assim, quando tivermos de calcular o quadrado de um número natural, o quadrado da soma poderá ser utilizado para simplificar os cálculos. 

Veja: 24² = (20 + 4)² = 20² + 2 . 20 . 4 + 4² = 400 + 160 + 16 = 576

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