Matemática aplicada - Aula 19 - O alfabeto Grego

 O alfabeto grego é um dos principais alfabetos entre as línguas ocidentais. Foi originado por volta de 1000 a.C. e influenciou a formação do alfabeto de diversos outros idiomas europeus. Tem 24 letras, e segue sendo utilizado no grego moderno, além de ter suas letras usadas em diversas áreas do conhecimento para representar cálculos, ideias e conceitos.

O alfabeto grego é, na verdade, uma adaptação do alfabeto fenício, que se originou na região em que hoje se encontra o Líbano. O contato entre gregos e fenícios se dava pelo comércio feito entre essas populações.

Por meio desse contato, os gregos tomaram o alfabeto fenício de empréstimo e começaram a adaptá-lo, até se tornar o alfabeto grego conhecido hoje. Veja as diferenças principais entre esses dois sistemas de escrita:

O desenvolvimento do alfabeto grego começou a ocorrer por volta do ano 1000 a.C., mas com muitas variações de acordo com a região da Grécia. Foi só, aproximadamente, no ano 403 a.C. que uma das variantes (chamada jônica) se tornou a oficial em Atenas, sendo adotada pelas outras cidades-estados. Essa variante é o alfabeto grego conhecido até hoje.

Como a Grécia Antiga teve grande importância no desenvolvimento científico universal, a relação dos gregos com a ciência se tornou algo inevitável. Por esse motivo, é bastante comum que encontremos referências ao alfabeto grego nas Ciências Exatas como Matemática, Física, Estatística, Astronomia e Engenharia.

Em geral, cada letra do alfabeto grego tem um significado diferente na área de atuação em que está sendo representada e, mesmo nesses casos, uma mesma letra pode ter significados diferentes dependendo do contexto em que for inserida. Alguns exemplos de uso são:

• Alfa (α), beta (ß) e gama (γ) na química são símbolos para radiação "alfa, beta e gama”.
• Alfa (α), beta (ß) na matemática são nomes dos ângulos de um triângulo: α = 30º e β = 60º.
• Delta (δ ) é usado na fórmula de Bhaskara: Δ = b2 – 4ac.
• Épsilon (ε) significa um pequeno valor positivo na matemática.
• Lambda (Λ) maiúsculo aparece na Astronomia como nome para a constante cosmológica 
• Lambda (λ) minúsculo é usado na fórmula para calcular o comprimento de uma onda : λ = c / f.
• Pi (π) é a razão constante entre a circunferência e o diâmetro de um círculo: C = 2πr.
• Fi (Φ) pode ser usada na Matemática, na Arquitetura e na Arte com significado de “razão de ouro”: ϕ = (1 + V5) / 2
• Sigma (Σ) é usado como o símbolo para “somatória”.
• Ômega (Ω) é usado como unidade de medida de resistência elétrica.

Esses são apenas alguns exemplos, sendo que há diversas outras letras gregas usadas em fórmulas e como representação de conceitos nas mais diversas áreas da ciência, como a matemática, a astronomia, a física, a química, as artes etc.

Para escrever corretamente o alfabeto grego siga a orientação de como se escrever as letras do alfabeto grego. Na verdade essas são letras minúsculas de forma, mas existe um formato manuscrito para algumas delas.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática aplicada - Aula 18 - Unidades de medida do Sistema Anglo-Saxônico

O Sistema Internacional de Unidades de Medida (SI) foi criada em 1960  durante a "XI Conferência Geral de Pesos e Medidas" em que se unificou os diferentes sistemas de unidades em um único sistema, para que todos os países que utilizam o SI, ao produzir peças, faria referência as mesmas unidades de medida, com base em um sistema métrico em que cada unidade é 10 vezes maior que a anterior e 10 vezes menor que a anterior.

O fato é que nem todos os países adotaram esse sistema, alguns ainda tomam como referência o Sistema Anglo-Saxônico que é baseado em unidades tradicionais de medida da Roma antiga.

Sistema
Anglo-Saxônico
Polegada.

Unidade inglesa ou medida imperial é a denominação dada a várias unidades de medida historicamente usadas no Reino Unido até 1824, ano em que o Weights and Measures Act padronizou o sistema imperial britânico de medidas, mantendo a maioria dos nomes das unidades mas alterando algumas das suas definições.
As unidades inglesas evoluíram de uma combinação do sistema de medidas anglo-saxão e do sistema romano antigo. A definição dessas medidas podia ser bastante imprecisa. O comprimento do braço de Henrique I, por exemplo, foi o padrão adotado para a definição de uma jarda.

Unidades de medida mais representativas do Sistema Anglo-Saxônico e suas equivalências com o Sistema Internacional. Devemos ter em mente que eles não são unidades exatas e, portanto, com o passar do tempo, estão caindo em desuso.

Medidas de Comprimento do Sistema Anglo-Saxônico

Sistema Anglo-Saxônico - Pés.

Polegada (abreviação "in": inches em inglês) - A polegada é a medida da largura da primeira falange do dedão na altura da base da unha do Rei Eduardo I. Equivalência com o Sistema Internacional: 1 in = 2,54 cm.

Pé (abreviação "ft": foot em inglês) - O pé é o comprimento da sola de um pé humano, do calcanhar ao dedo do pé. Equivalência com o Sistema Internacional: 1 ft = 30,48 cm.

Jarda (abreviação "yd": de yard em inglês) - A Jarda é metade do comprimento que existe de ponta a ponta de um ser humano com braços estendidos. Equivalência com o Sistema Internacional: 1 yd = 91,44 cm.

Sistema Anglo-Saxônico - Jarda.

Milha (abreviação "mi": de mile em inglês) - A milha é baseada na distância que um humano viaja com 1.000 passos. Equivalência com o Sistema Internacional: 1 mi = 1,6 km.

Légua (não tem abreviação em inglês, légua) - Uma légua é a distância que um humano percorre caminhando por uma hora. Equivalência com o Sistema Internacional: 1 légua = 4.82 km.

Medidas de Profundidade do Sistema Anglo-Saxônico

Braça (não tem abreviação em Inglês,  Fathom) - A Braça é usado, acima de tudo, para medidas náuticas e equivale à distância dos dois braços estendidos.unidades de medida. Equivalência com o Sistema Internacional: 1 braça = 1,82 m

Medidas de Volume do Sistema Anglo-Saxônico

As medidas de volume não têm a sensação de serem tão explícitas quanto as anteriores e, portanto, não precisam de uma explicação gráfica. A tabela abaixo mostra as unidades de medida mais comuns do Sistema Anglo-Saxônico, sua abreviação e a equivalência com o Sistema Internacional.

Medidas de Massa do Sistema Anglo-Saxônico

Tal como para as unidades de massa, o mesmo aplica-se para o volume e, portanto, mais uma vez, vai expor a em uma tabela que as unidades de medida de massa comum do sistema anglo-saxónica aparecem, a sua abreviatura e equivalência com o Sistema Internacional. * no sistema internacional de medidas, há também uma tonelada, cuja equivalência é de 1.000 kg. 

Muitas unidades norte americanas de pesos e medidas são baseadas em unidades usadas na Grã-Bretanha antes de 1824, quando o sistema imperial britânico foi estabelecido. Hoje, já não há qualquer relação direta entre ambas as unidades com mesmo nome. 

Tais unidades possuem muitos inconvenientes, como a complexidade da conversão, o uso do mesmo nome para diferentes unidades, a ounce (onça), é usada para peso e capacidade líquida, e o quart e o pint são empregados em líquidos e sólidos.

Há ainda três sistemas diferentes de pesos, o avoirdupois, o troy, e o apothecaries, o que traz inúmeras desvantagens, especialmente se considerarmos a ampla utilização de um sistema métrico muito mais simples em outras partes do mundo.
Por isso mesmo, há várias propostas para acabar com o Sistema Anglo-Saxônico e substituí-lo pelo sistema métrico.

Conversão de medidas de comprimento 

Centímetros - O centímetro é uma unidade de comprimento nas unidades do sistema métrico, igual a um centésimo de um metro.

Polegadas - A polegada é uma unidade de comprimento usada principalmente nos sistemas usuais de medição imperial adotado pelos países e colônias inglesas e nos Estados Unidos da América, representando 1/12 de um pé e 1/36 de uma jarda.

Conversão de Centímetros para Polegadas

• 1 cm é equivalente a 0,39370 polegadas, logo:  in =  cm * 0,39370;

Conversão de Polegadas para Centímetro 

•  1 in é equivalente a 2,54 cm, logo:  cm =  in * 2,54;

Pés - Em 1959 o acordo internacional sobre as jardas e as libras entre os Estados Unidos da América  e os países da Comunidade das Nações* definiu uma jarda como sendo exatamente 0,9144 metros, o que, por sua vez definiu o pé como sendo exatamente 0,3048 metros (304,8 mm).

Conversão de Centímetros para Pés

• 1 cm é equivalente a  0,032808 pés, logo:  ft =  cm *  0,032808;

Conversão de Pés para Centímetro 

•  1 ft é equivalente a 30,48 cm, logo:  cm =  ft * 30,48;

* Comunidade das Nações - Commonwealth - formado por cinquenta e quatro nações independentes, antigamente, conhecido por Commonwealth britânica, pois quase todos os países membros eram parte do Império Britânico, que era um conjunto de territórios administrados pelo Reino Unido. As únicas exceções eram Moçambique, colônia antiga do Império Português e Ruanda, que pertenceu à Bélgica.

Jardas - Unidade de comprimento igual a 3 pés; definido como 91,44 centímetros; originalmente escolhido para ser o comprimento médio de um passo.

Conversão de Centímetros para Jardas

• 1 cm é equivalente a 0,010936 Jardas, logo:  cm =  yd * 0,010936;

Conversão de Jardas para Centímetro 

•  1 yd é equivalente a 91,94 cm, logo:  yd =  cm * 91,94;

Milhas - Unidade de comprimento igual a 1609 metros. O termo milha era usado para denotar distância na Roma Antiga, onde valia 1 000 passos (do latim, mille passus) dados pelo Centurião, ou 5 000 pés romanos.

Conversão de quilometros para Milhas

• 1 Km é equivalente a  0,62137 milhas, logo:  km =  mi *  0,62137;

Conversão de Jardas para Centímetro 

•  1 mi é equivalente a 1,6093 km, logo:  mi =  km * 1,6093;

Conversão de medidas de massa

Libras - A libra imperial (avoirdupois) é oficialmente definida como igual a 453,59237 gramas.

Gramas - Unidade métrica de peso igual a um milésimo de um quilograma 

Conversão de Libras para Gramas

• 1 lb é equivalente  a 453,592 gramas, logo: lb = g * 453,792;

Conversão de Grama para Libras

• 1 g é equivalente  a 0,0022046 libras, logo: g = lb * 0,0022046;

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática Aplicada - Aula 17 - Função Exponencial e logarítmica.

Função exponencial

Função exponencial crescente e decrescente

A equação exponencial é um caso particular de equação. Equação é uma sentença matemática que possui igualdade e, pelo menos, uma incógnita. Resolver equações é encontrar os valores que fazem com que a sentença matemática seja verdadeira, e com as equações exponenciais não é diferente.

Buscamos encontrar o valor para a incógnita que faz com que a igualdade seja válida, para isso utilizamos técnicas de equação e as propriedades de potência, com o objetivo de igualar as bases dos dois lados da igualdade para que seja possível igualar os expoentes da equação.

Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um.

Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante.

Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria definida.

Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor.

Exemplos:

f(x) = 4x
f(x) = (0,1)x
f(x) = (⅔)x

Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.

Tabela função exponencial
crescente

O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x.

Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).

Abaixo representamos o gráfico da função exponencial.

Função Crescente ou Decrescente

A função exponencial pode ser crescente ou decrescente.

Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é uma função crescente.

Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.

Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua imagem também aumenta, como apresentado no primeiro gráfico.

Tabela função exponencial
decrescente

Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.

Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na tabela abaixo.

Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.

Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto maior o x, mais perto do zero a curva exponencial fica.

Função logarítmica

A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é definida como:

 f(x) = logax , com a real positivo e a ≠ 1.

Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, y = logax ⇔ ay = x.

Função exponencial e logarítmica

Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.

Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função logarítmica.

No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática aplicada - Aula 16 - Produtos Notáveis

Certos produtos aparecem com bastante frequência no cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por exemplo. Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz, significa: produto _ “resultado da multiplicação”, e notável _ “que se destaca”. O único problema é que, às vezes, eles aparecem e a gente nem nota!

Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva, ou então, de forma mais direta, através de algumas regras que veremos a seguir.

Quadrado da Soma de dois Termos 

Quadrado da Soma de dois Termos pode ser calculado através da propriedade distributiva.

Então temos: (a + b)² = a² + 2ab + b²; 

Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 






Quadrado da Diferença de dois Termos 

Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos.

Então temos: (a + b)² = a² - 2ab + b²;

Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 

Produto da Soma e Diferença de dois Termos

O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores.

Portanto: (a + b) x (a – b) = a² – b².

Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”.






Cubo da soma de dois termos

Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para produtos com o seguinte formato: (a + b) (a + b) (a + b);

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a + b)³

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos
o seguinte para esse produto notável:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³




Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios: (a - b) (a - b) (a - b). 

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a - b)³

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável:
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³





CURIOSIDADE: 

* Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos. 
Veja: Qual o produto de (41) x (39)?
Transformando a multiplicação para um produto notável, temos: (40 + 1) x (40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599.

**Podemos escrever qualquer número natural como uma soma. Assim, quando tivermos de calcular o quadrado de um número natural, o quadrado da soma poderá ser utilizado para simplificar os cálculos. 

Veja: 24² = (20 + 4)² = 20² + 2 . 20 . 4 + 4² = 400 + 160 + 16 = 576

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/202

Matemática Aplicada - Aula 15 - Razões trigonométricas de um triângulo retângulo

Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulo retângulo. Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, pois resultam da divisão entre as medidas dos seus lados.

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior lado, o cateto "oposto" é aquele em frente a um determinado ângulo, e um cateto "adjacente" é aquele ao lado de um determinado ângulo. 

A hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre o lado oposto ao ângulo reto. Ela é o maior lado do triângulo retângulo. Os outros dois lados são chamados cateto oposto e cateto adjacente. Esses lados são definidos em relação a um ângulo. 

O cateto oposto fica em frente a um determinado ângulo. O cateto adjacente é aquele que fica ao lado de um determinado ângulo, mas não é a hipotenusa.
O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a 90º). O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

Os valores do seno, do cosseno e da tangente são calculados em relação a um determinado ângulo agudo do triângulo retângulo.
De acordo com a posição dos catetos em relação ao ângulo, ele pode ser oposto ou adjacente, conforme imagem abaixo:
Seno (Sen alfa )
É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
sen = cateto oposto / hipotenusa
Cosseno (Cos alfa)
É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
cos = cateto adjacente / hipotenusa.
Tangente (Tg alfa)
É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
tg cateto oposto / cateto adjacente.

Resumo de Razões Trigonométricas está disponível em: 21_08_02 Razões Trigonométricas.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020