segunda-feira, 28 de março de 2022

Matemática Aplicada - Aula 10 - Grandezas físicas

Grandezas físicas são as características, ou propriedades, de algo, ou fenômeno, que podem ser medidas direta ou indiretamente. Elas podem ser: escalares ou vetoriais.

  • Grandezas escalares: que se definem com apenas um valor. Por exemplo, massa e tempo;
  • Grandezas vetoriais: que, além do valor, também precisam de uma direção de aplicação e um sentido de aplicação. Por exemplo, velocidade e força.

Para medir as grandezas é necessário haver uma quantidade de referência. Isso significa que deve haver uma unidade de medida para que se possa medir uma grandeza. Por exemplo, para comprarmos leite no supermercado, devemos saber quanto queremos do produto. Ex; 2 litros, neste caso, a unidade de medida é o litro.
O SI (Sistema Internacional de Unidades) estabelece sete grandezas básicas e suas respectivas unidades. São elas: o comprimento, a massa, o tempo, a corrente elétrica, a temperatura, a quantidade de substância e a intensidade luminosa. A partir das unidades de base dessas grandezas, podemos obter suas unidades derivadas.

Unidades de base
Vamos conhecer algumas grandezas físicas, suas unidades e simbologias.
  • comprimento em metros;
  • massa em gramas;
  • tempo em segundos;
  • temperatura em graus celcius.

Unidades derivadas
Volume é a grandeza física que define a quantidade de espaço ocupado por um corpo. Um corpo físico ocupa três dimensões no espaço (comprimento, largura e altura), por isso, as unidades de volume são unidades lineares elevadas à terceira potência, como metro cúbico (m3) ou milímetro cúbico (mm3). Além dessas, também há outras, como o litro (l).

Observe as dimensões de uma caixa: Perceba que a caixa tem volume de 48000 mm³. Este valor é obtido por meio da multiplicação de suas dimensões, 60 x 40 x 20, supondo que elas estejam em milímetros. 

Muitas vezes não pensamos apenas em um objeto, mas também na sua localização ou posição. E a mudança da posição nos dá a velocidade.

Velocidade é o resultado da distância para sair de um local e chegar a outro, além do tempo necessário para percorrer este percurso. De acordo com a física, velocidade é a distância percorrida por um corpo em um determinado tempo. Esta é uma grandeza vetorial, ou seja, possui um valor (ou módulo), uma direção e um sentido de aplicação. Suas unidades mais comuns são m/s e km/h.
Quando a velocidade de um objeto muda, significa que ele está submetido a uma aceleração.  Mas você sabe o que é aceleração?

Aceleração é a variação da velocidade, ou seja, a mudança na velocidade de um corpo em um determinado tempo. Esta é uma grandeza vetorial. Sua unidade mais comum é o m/s2.
Se um objeto tem uma aceleração de 2 m/s², isso significa que a cada segundo, sua velocidade aumenta em 2 m. Perceba que na medida em que aumentamos a força aplicada sobre o carro, a sua aceleração aumenta na mesma proporção.

Portanto, para haver uma aceleração, é preciso haver também uma força aplicada ao objeto.

Força é uma grandeza física que resulta na alteração do estado de um corpo. Uma das consequências da aplicação de uma força é tirar um corpo da inércia, concedendo movimento ou aceleração a ele. No entanto, embora apresente esta capacidade, nem sempre a aplicação de uma força altera o estado de movimento de um corpo. Se você empurrar uma parede, por exemplo, provavelmente não a moverá, apesar de exercer muita força sobre ela. Outra consequência comum da ação de uma força é a deformação. Se você apertar uma lata de refrigerante, certamente poderá amassá-la.
Assim, podemos definir que a força é uma grandeza vetorial que pode ser definida pela aceleração de uma massa. Suas principais unidades são o Newton (N) e o quilograma-força (kgf), além da libra-força (lbf).

Mas a força também pode resultar em pressão. 

A Pressão é considera a força e a área em que ela está sendo aplicada. Se pressionamos o dedo contra uma bola de futebol, nada acontecerá. Mas, se você empregar a mesma força para pressionar a ponta de um prego contra a mesma bola, provavelmente vamos fazer um furo na bola.

Note que a área de contato de seu dedo na bola é muito maior que a área de contato da ponta do prego contra a bola, o que faz toda a diferença. Ou seja, podemos dizer que se um corpo tem a sua massa acelerada contra uma área, está ocorrendo pressão. O que, de forma sucinta, define pressão como a força aplicada em uma área.

As unidades de pressão são as unidades de força divididas por unidades de área. As mais comuns são: o Pascal (Pa), que equivale ao (N/m²) e seus múltiplos (MPa e GPa), além de kgf/mm², kgf/cm², lbf/in² (psi).

A ideia de pressão frequentemente está associada à temperatura, pois uma interfere sobre a outra. A panela de pressão, por exemplo, utiliza a pressão para aumentar sua temperatura interna.

A pressão em fluidos que não estejam confinados, no entanto, provoca um escoamento, ou seja, uma vazão do fluido. Quando abrimos uma torneira, por exemplo, a pressão da água no encanamento permite que ela escoe pela torneira.

Vazão é a grandeza vetorial usada para controle ou medição do escoamento de líquidos e gases. A vazão pode ser entendida como o volume de um determinado fluido que passa por uma seção de controle em um determinado tempo.

Suas unidades são de volume por tempo, como m³/s, l / h e outras. Os fluidos podem ter sua vazão por tubos ou por canais abertos, como em um rio. Observe alguns tipos de tubos e conexões usados em escoamento de fluidos.

segunda-feira, 21 de março de 2022

Matemática Aplicada - Aula 09 - Cálculo de volume de sólidos geométricos

Figura 01 - Esfera.
De modo prático, o volume de um sólido geométrico é a medida da região do espaço limitada por sua superfície. Em termos da Matemática, volume de um sólido é um número real positivo associado ao sólidos de forma que:

  • sólidos congruentes têm volumes iguais.
  • se um sólido S é a reunião de dois sólidos S1 e S2 que não têm pontos internos comuns, então o volume de S é a soma dos volumes de S1 e S2.

Os sólidos são medidos por uma unidade que, em geral, é um cubo. Portanto, o volume desse cubo é 1. Se sua aresta mede 1 cm, seu volume será 1 cm³. Se sua aresta medir 1 m, seu volume será 1 m³.

Figura 02 - Sólidos geométricos.
Para calcular o volume de figuras geométricas temos que lembrar de uma coisa: cálculo de volume se aplica somente a figuras tridimensionais, que são figuras com três dimensões e, dependendo das figuras, podem ser um cálculo mais complexo.

Esfera
A esfera é um dos sólidos mais simples e básicos de todos. O cálculo de seu volume é simples, basta aplicar a fórmula, conforme mostrado na ilustração 01.

Sólidos Geométricos
O volume das demais figuras é calculado por meio da área da base, que é multiplicada por um fator.
Para algumas figuras, este fator é a altura e para outras, é um terço da altura. A seguir, veja um infográfico com algumas figuras básicas, suas características e como se calcula o volume.
Expressão do volume do paralelepípedo: V = a ⋅ b ⋅ h ;
Expressão do volume da pirâmide: V= (a ⋅ b ⋅ h) / 3 ;
Expressão do volume do cilindro: V=Ab ⋅ h ;
Expressão do volume do cone: V= 1/3 ⋅ Ab  ⋅h ;

Cálculo de volumes complexo
Quando consideramos figuras geométricas que fogem às figuras básicas, para calcular o volume, deve-se dividir a figura em vários componentes regulares e proceder ao cálculo individual, para depois somar e subtrair os volumes. 

Em muitos casos, o objeto tridimensional é uma figura plana (bidimensional) que foi extrudada. Nestes casos, o volume é a área da figura bidimensional multiplicada pela altura da extrusão. Observe alguns exemplos a seguir.

Se pegarmos uma figura plana (bidimensional) e a elevarmos, temos o que se chama de “extrusão”.
Figura 03 - Tiângulo.
Neste exemplo, começamos com um triângulo de linhas; depois, o transformamos em uma figura plana e, por último, fazemos sua extrusão.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

segunda-feira, 14 de março de 2022

Matemática Aplicada - Aula 08 - Cálculo de área do cone

 O cone é formado por vértice, altura, raio e geratriz.
  • Vértice: o vértice é um ponto superior que define a altura do cone;
  • Altura: a altura equivale à medida do segmento de reta que inicia no centro da circunferência e termina no vértice do cone;
  • Raio: é o raio da circunferência que forma a base;
  • Geratriz: a geratriz é um segmento de reta que inicia em um ponto no arco da base e termina no vértice do cone. Dessa forma, a lateral cônica é formada por um conjunto de geratrizes.
Em relação às geratrizes do cone reto, temos a seguinte relação entre o raio, a altura e a geratriz do cone: g² = r² + h²Nada mais é do que a aplicação do Teorema de Pitágoras, pois a altura, o raio e a geratriz formam um triângulo retângulo em um cone reto.

Elementos da Planificação do Cone

Quando abrimos a lateral do cone e colocamos num plano, obtemos uma figura com uma parte circular com os seguintes elementos:
  • Raio: o raio g da figura em questão é a geratriz do cone;
  • Comprimento do arco: o setor circular da figura possui comprimento igual 2πr, que é igual ao perímetro da base do cone, ou seja, o perímetro de uma circunferência.

A área do cone faz referência a medida da superfície dessa figura geométrica espacial. Lembre-se que o cone é um sólido geométrico com uma base circular e uma ponta, a qual é chamada de vértice.
No cone é possível calcular três áreas:
Área da Base - Ab = π.r; Onde: Ab: área da base; π (pi): 3,14 e r: raio.
Área Lateral -  .A= π.r.g ; Onde: Al: área lateral, π (pi): 3,14, r: raio e g: geratriz.
Obs: A geratriz corresponde a medida da lateral do cone. Formada por qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice e a outra na base ela é calculada pela fórmula: g2 = h2 + r2 (sendo h a altura do cone e r o raio).
Área Total - At = π.r (g+r) ; Onde: At: área total, π (pi): 3,14; r: raio e g: geratriz.

Se cortarmos uma parte do cone, obtemos um cone contendo duas bases: uma parte contém o vértice do cone, chamada de base menor e a outra contém a base do cone, chamada de base maior. Esse corte no cone forma uma nova figura geométrica chamada de “tronco do cone”. Essa nova figura possui duas bases opostas e paralelas, e a altura equivale à distância entre essas bases.
Em relação a área é possível calcular:
Área da Base Menor (Ab) - Ab = π.r2
Área da Base Maior (AB) - AB = π.R2
Área Lateral (Al) Al = π.g. (R + r)
Área Total (At) - At = AB + Ab + Al.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/09/2022

terça-feira, 8 de março de 2022

Matemática Aplicada - Exercício 07.1 - Cálculo de áreas e perímetros de figuras planas

Figura 01 - Dimensões da chapa e do trapézio.
Agora que já vimos os cálculos de áreas das figuras básicas, vamos acompanhar uma breve aplicação. Imagine que você tenha uma chapa de aço quadrada com 1 m de lado. 
Você deve usar esta chapa para recortar pedaços em formato de trapézio, de forma a obter o maior número possível de trapézios. Veja o desenho da figura 01, com as medidas do trapézio em metros.




Uma disposição possível para o plano de corte é mostrada na figura 02. 
Figura 02 - Plano de corte 01.
Vamos calcular, com base na figura anterior, qual a área total aproveitada da chapa. Como a chapa é um quadrado de 1 m de lado, sua área é: 1 m². 
O trapézio é um quadrilátero (tem 4 lados) com dois lados paralelos (diferentes) e outros dois que ligam os primeiros. Os lados paralelos são chamados de bases. Temos, então, a base maior e a base menor. A distância entre as bases é chamada de altura. Cada trapézio tem a área dada por: A = [ (Base maior + base menor) /2 ] x Altura;
Sendo sua área de: 0.0225 m². 
Pela figura 02, couberam 20 trapézios, cuja área total é 0,45 m². Isso quer dizer que mais da metade da área da chapa (0,55 m², ou 55%) está sendo desperdiçada. 
Figura 03 - Plano de corte 02.
Vamos, então, tentar de outra forma.
Note que invertemos a posição dos trapézios da segunda e quarta colunas e, por isso, coube mais uma coluna. Agora temos 25 trapézios, com área total de 0,563 m² e desperdício de 43,7%.
Figuras quaisquer
Figura 04 - Cálculo de área de uma figura qualquer.
No caso de uma figura qualquer, para calcular a sua área, é preciso subdividi-la em figuras básicas. Por exemplo: um retângulo e um semicírculo.
Após dividi-la, temos um retângulo somado a um semicírculo.
Nesse caso, a área da figura é a soma da área do retângulo com a do semicírculo. Sendo AR a área do retângulo, e ASC a área do semicírculo, portanto: A = AR +ASC
Se os valores em milímetros forem: a = 40 mm e R = 15 mm.
A área do retângulo será de  1200 mm² e a do semicírculo se á de 353 mm²
Fórmula 01 - Cálculo de área.
A área pode ser obtida aplicando os valores na fórmula, teremos uma área total de 1553 mm².

Já no próximo caso, temos uma figura mais complexa, que inclusive tem um círculo interno que representa um furo na peça. Neste caso, a área deste furo deve ser subtraída do total.

Então, para o cálculo da área da figura, devemos dividi-la em outras figuras básicas, como mostrado a seguir.
Note que agora temos figuras conhecidas, com áreas facilmente calculáveis. Temos 2 semicírculos, 1 retângulo, 1 quadrado, 1 triângulo e 1 círculo. Considerando que a identificação em cada figura equivale à sua área, então, o valor total da área desta figura é calculada por: A = S1 + R1 + Q1 + T1 + S2 - C1.
Considerando as cotas em milímetros e aplicando os valores na fórmula, temos o valor da área que resulta em A = 4.668 mm².
Note que, para figuras muito complexas, o que dá trabalho é identificar onde dividi-la para obter as figuras básicas. Mas, uma vez feito isso, o restante é apenas aplicar as fórmulas.
Fórmula 02 - Cálculo de área.


© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

segunda-feira, 7 de março de 2022

Matemática Aplicada - Aula 07 - Áreas e perímetros de figuras planas

Geometria Plana e Espacial
A Geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras planas. Ou seja, aquelas que possuem comprimento e largura, sendo figuras bidimensionais (duas dimensões).
O que as difere das figuras geométricas espaciais é que estas apresentam três dimensões e incluem, portanto, o conceito de volume. 
Na geometria, os conceitos de área e perímetro são utilizados para determinar as medidas de alguma figura. Como exemplo podemos calcular área e perímetro.
Área: equivale a medida da superfície de uma figura geométrica.
Perímetro: soma das medidas de todos lados de uma figura.
Geralmente, para encontrar a área de uma figura basta multiplicar a base (b) pela altura (h). Já o perímetro é a soma dos segmentos de retas que formam a figura, chamados de lados (l).
Para encontrar esses valores é importante analisar a forma da figura. Assim, se vamos encontrar o perímetro de um triângulo, somamos as medidas dos três lados. Se a figura for um quadrado somamos as medidas dos quatro lados.
Na Geometria Espacial, que inclui os objetos tridimensionais, temos o conceito de área (área da base, área da lateral, área total) e o de volume.
O volume é determinado pela multiplicação da altura pela largura e pelo comprimento. Note que as figuras planas não possuem volume.

Áreas e Perímetros de Figuras Planas
Confira abaixo as fórmulas para encontrar a área e o perímetro das figuras planas.

Triângulo: figura fechada e plana formado por três lados.
Área e Perímetro

Retângulo: figura fechada e plana formada por quatro lados. Dois deles são congruentes e os outros dois também.
Área e Perímetro

Quadrado: figura fechada e plana formada por quatro lados congruentes (possuem a mesma medida).

Área e Perímetro

Círculo: figura plana e fechada limitada por uma linha curva chamada de circunferência.
Área e Perímetro
Atenção! π: constante de valor 3,14 e r: raio (distância entre o centro e a extremidade)

Trapézio: figura plana e fechada que possui dois lados e bases paralelas, onde uma é maior e outra menor.
Área e Perímetro

Losango: figura plana e fechada composta de quatro lados. Essa figura apresenta lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.
Área e Perímetro

Fórmula das Áreas das Figuras Planas
Áreas de Figuras Planas
Confira acima as fórmulas para os cálculos de área.

Vale lembrar que a área e o perímetro são dois conceitos utilizados na geometria plana, no entanto, apresentam diferenças.

  • Área: tamanho da superfície da figura. O valor da área será dado sempre em cm2, m2 ou km2.
  • Perímetro: soma de todos os lados da figura. O valor do perímetro será dado sempre em cm, m ou km.