Matemática Aplicada - Aula 02 - Números Irracionais, primos e outros

Os Números Irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos que não podem ser representados por meio de frações irredutíveis.

√2  - "Constante" de Pitágoras

Figura 01  - Número √2

A descoberta dos números irracionais foi considerada um marco nos estudos da geometria. Isso porque preencheu lacunas, como por exemplo, a medida da diagonal de um quadrado de lado igual a 1. Como a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, podemos calcular essa medida usando o Teorema de Pitágoras. Com vimos, a medida da diagonal desse quadrado será √2. O problema é que o resultado desta raiz é um número decimal infinito e não periódico: √2 = 1,4142135623730950488016887....

Por mais que tentemos encontrar um valor exato da √2, só conseguimos aproximações deste valor. Considerando 28 casas decimais essa raiz pode ser escrita como: √2 = 1,4142135623730950488016887....

Imagem disponível em: √2 = 1,4142135623730950488016887....

Outros exemplos de irracionais  originados por raiz (√) são: √3 = 1,732050807568.... ; √5 = 2,236067977499... ; √7 = 2,645751311064... ;

Estes números irracionais podem ser algébrico, quando satisfaz uma equação algébrica de coeficientes inteiros. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 (√2) pode ser escrita como sendo x² - 2 = 0, então é irracional algébrico.

Os números irracionais também podem transcendentes quando não satisfazem uma equação algébrica de coeficientes inteiros.

Pi (π) -  Constante de Arquimedes

Figura 02  - Número (π ) 

O número pi (π) ou constante de Arquimedes, é o mais famoso dos números irracionais transcendentes. Seu valor é π = 3,14159265358979323846… e representa a proporção da medida da circunferência e do seu diâmetro. O número Pi é a mais antiga constante matemática que se conhece. É um número irracional, com infinitas casas decimais e não periódico.

A primeira tentativa rigorosa de encontrar (π) deve-se a um dos mais conhecidos matemáticos da Antiguidade, Arquimedes. Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados encontrou que pi seria entre um valor entre 223/71 e 22/7.

Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416.

Imagem disponível em : π = 3,1415926535897932384626433…

e - Constante de Euler

Figura 03  -  Número de Neper (e).

Um outro exemplo de irracional transcendente é o número de Neper ou constante de Euler, representado por e, sendo aproximadamente igual a 2,7182818284590452353602874...

Ela é utilizado como base dos logaritmos naturais (ln x).

A constante de Euler é número irracional positivo. Alguns problemas de equações exponenciais necessitam de alguns artifícios para a solução. Este número é representado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

A história do número e confunde-se com a história do cálculo integral e diferencial. Foi a tentativa de calcular a área de uma curva aparentemente simples y = 1 ÷ x que inspirou Newton e Leibnitz a estudarem processos infinitos, e assim toparem com o cálculo e com o número "e".

Imagem disponível em: e = 2,7182818284590452353602874...

ϕ - Número de ouro

Figura 04  - Número de ouro (ϕ).

Podemos ainda citar o número de ouro, representado por phi (ϕ). Seu valor é ϕ = 1,6180339887498948482045868... e é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega ϕ, em homenagem ao escultor Phideas, que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618.

O número de ouro é o representante matemático da perfeição na natureza. Ele é estudado desde a Antiguidade e muitas construções gregas e obras artísticas apresentam esse número como base. O número de ouro é representado pela letra grega phi e é obtido pela proporção = 1.6180339...

O número de ouro, têm fascinado intelectuais de diferentes áreas, durante pelo menos 2400 anos. Um desses intelectuais foi Leonardo Pisano (1170 – 1250), também conhecido como Fibonacci. Ele foi um dos grandes matemáticos da Idade Média e e sua contribuição para o número de ouro surgiu com o estudo sobre o crescimento da população de coelhos. 

Fibonacci percebeu que a seqüência formada pelos números de filhotes gerados mês a mês (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…), era o resultado da soma dos dois anteriores.

Fibonacci também constatou que dividindo um número pelo anterior obtêm-se resultados que convergem para esse número de ouro, 1,618. Ele então concluiu que a razão de 1,618 não só representava uma constante de crescimento de cada ninhada de coelhos, como também era uma constante universal de crescimento de cada ninhada de coelhos, como também era uma constante universal de crescimento e evolução da natureza.

Imagem disponível em: ϕ = 1,6180339887498948482045868...

Números primos

Números primos são aqueles divisíveis apenas por um e por eles mesmos. Estão presentes na Matemática desde a Antiguidade, e vários métodos foram desenvolvidos a fim de verificar se um número é de fato primo, como o Crivo de Erastóstenes.

O Crivo de Erastóstenes consiste em criar uma tabela com números que vão de 2 até o número desejado, visto que o número 1 não é primo. Em seguida, realizamos os seguintes passos:

Passo 1 – Tendo em vista as regras de divisibilidade, sabemos que o único número par primo é o número dois. Então, excluímos todos os demais pares da tabela, ou seja, os múltiplos de 2, (4,6,8,10,12,...).

Passo 2 - De acordo com as regras de divisibilidade por 3, sabemos que um número é divisível por 3 caso a soma dos algarismos também seja. Assim, vamos excluir todos os números que são múltiplos de 3, (6,9,12,15,18,...).

Passo 3 – Do critério de divisibilidade por 5, sabemos que um número é divisível por 5 caso ele termine em 0 ou em 5. Vamos excluir todos os números que terminam em 0 e em 5, (10,15,20,15,30,...).

Passo 4 – De maneira análoga, verificando o critério de divisibilidade, vamos excluir todos os múltiplos de 7, (14,21,28,35,...).

Feito todo esse processo, os números que sobrarem são os primos de 2 até o número desejado.

O estudo dos números primos acabou resultando no Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que todo número inteiro positivo e maior que 1 pode ser representado de maneira única como um produto de fatores primos. A fatoração corresponde a decomposição dos números em fatores primos.

Imagem disponível em: P (2 a 668821) : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.....

Sequência de Fibonacci

Na matemática, a Sucessão de Fibonacci (também Sequência de Fibonacci), é uma sequência de números inteiros, começando normalmente por 0 e 1, na qual, cada termo subsequente corresponde à soma dos dois anteriores.

A sequência recebeu o nome do matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci, que descreveu, no ano de 1202, o crescimento de uma população de coelhos, a partir desta.

Esta sequência já era, no entanto, conhecida na antiguidade.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155

Dividir 1 por 998.001

Amantes da matemática descobriram algo estranho acontecendo com o número 998.001: se você o divide por 1, o número decimal resultante fornecerá quase todos os números de três dígitos existentes, menos um.

Por exemplo, começa da seguinte maneira: 0.000001002003004005006… e assim por diante.

O número de três dígitos ignorado nesta estranha série indica o que está acontecendo aqui, e como essa peculiaridade matemática pode ter aplicações práticas interessantes.

O número de três dígitos que falta na equação é 998. Estranhamente, o número salta de 997 para 999.

O número 998.001 é na verdade parte de uma pequena família de números com peculiaridades matemáticas interessantes: os números que são os quadrados de noves. No caso, 998.001 é o quadrado de 999.

Se você dividir 1 por 9.801 (que é o quadrado de 99), você obterá uma resposta semelhante: todos os números de dois dígitos de uma série, exceto 98.

Se você dividir 1 por 99.980.001 (o quadrado de 9.999), você obterá todos os números de quatro dígitos menos 9.998. Da mesma forma, se você dividir 1 por 81 (o quadrado de 9), o resultado será 0,012345679012345679… – todos os números de um dígito, exceto 8, continuando nesse padrão até o infinito.

Os matemáticos podem usar seu conhecimento de como esses números funcionam para criar qualquer padrão decimal recorrente desejado (algo que também é chamado de dízima periódica). O truque é definir o número de dígitos que você deseja em cada número, depois encontrar o quadrado de um número com vários noves repetidos e dividir 1 por esse número.

Isso significa que, se você quiser obter 0,012345679 como resposta, você encontrará o quadrado de 9 e dividirá por 1 para obter 1/81.

Se você criar uma série infinita que siga o padrão 1 + 2x + 3×2 + 4×3 e x for menor que 1, toda a série será simplificada para 1 dividido pelo 

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020