Matemática Aplicada - Aula 13 - Função Exponencial e logarítmica.

Função exponencial

Função exponencial crescente e decrescente

A equação exponencial é um caso particular de equação. Equação é uma sentença matemática que possui igualdade e, pelo menos, uma incógnita. Resolver equações é encontrar os valores que fazem com que a sentença matemática seja verdadeira, e com as equações exponenciais não é diferente.

Buscamos encontrar o valor para a incógnita que faz com que a igualdade seja válida, para isso utilizamos técnicas de equação e as propriedades de potência, com o objetivo de igualar as bases dos dois lados da igualdade para que seja possível igualar os expoentes da equação.

Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um.

Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante.

Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria definida.

Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor.

Exemplos:

f(x) = 4x
f(x) = (0,1)x
f(x) = (⅔)x

Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.

Tabela função exponencial
crescente

O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x.

Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).

Abaixo representamos o gráfico da função exponencial.

Função Crescente ou Decrescente

A função exponencial pode ser crescente ou decrescente.

Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é uma função crescente.

Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.

Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua imagem também aumenta, como apresentado no primeiro gráfico.

Tabela função exponencial
decrescente

Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.

Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na tabela abaixo.

Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.

Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto maior o x, mais perto do zero a curva exponencial fica.

Função logarítmica

A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é definida como:

 f(x) = logax , com a real positivo e a ≠ 1.

Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, y = logax ⇔ ay = x.

Função exponencial e logarítmica

Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.

Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função logarítmica.

No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática aplicada - Aula 12 - Produtos Notáveis

Certos produtos aparecem com bastante frequência no cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por exemplo. Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz, significa: produto _ “resultado da multiplicação”, e notável _ “que se destaca”. O único problema é que, às vezes, eles aparecem e a gente nem nota!

Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva, ou então, de forma mais direta, através de algumas regras que veremos a seguir.

Quadrado da Soma de dois Termos 

Quadrado da Soma de dois Termos pode ser calculado através da propriedade distributiva.

Então temos: (a + b)² = a² + 2ab + b²; 

Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 






Quadrado da Diferença de dois Termos 

Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos.

Então temos: (a + b)² = a² - 2ab + b²;

Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 

Produto da Soma e Diferença de dois Termos

O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores.

Portanto: (a + b) x (a – b) = a² – b².

Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”.






Cubo da soma de dois termos

Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para produtos com o seguinte formato: (a + b) (a + b) (a + b);

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a + b)³

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos
o seguinte para esse produto notável:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³




Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios: (a - b) (a - b) (a - b). 

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a - b)³

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável:
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³





CURIOSIDADE: 

* Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos. 
Veja: Qual o produto de (41) x (39)?
Transformando a multiplicação para um produto notável, temos: (40 + 1) x (40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599.

**Podemos escrever qualquer número natural como uma soma. Assim, quando tivermos de calcular o quadrado de um número natural, o quadrado da soma poderá ser utilizado para simplificar os cálculos. 

Veja: 24² = (20 + 4)² = 20² + 2 . 20 . 4 + 4² = 400 + 160 + 16 = 576

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Matemática Aplicada - Aula 10.2 - Teorema de Pitágoras

Ao falarmos sobre o Teorema de Pitágoras, estamos fazendo referência a um dos mais famosos teoremas da Matemática haja vista a sua aplicação a problemas do cotidiano, como por exemplo, no cálculo de um dos lados de um triângulo retângulo.
Vale ressaltar que apesar do teorema levar o seu nome, Pitágoras de Samos, o mesmo não teria sido descoberto por ele, pois, existem registros datados de 1.800 a.C., que mostram que a medida dos lados dos triângulos já era conhecido pelos babilônios, porém foi Pitágoras quem conseguiu transformar esse conhecimento em uma teoria bem fundamentada e sendo até hoje por nós utilizada.

O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Essa figura geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto.
É usado para determinar a medida desconhecida de um lado, uma vez conhecidas as medidas dos outros dois lados.
O enunciado desse teorema é: “A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.”
Em forma de equação, a fórmula do Teorema de Pitágoras é: .

Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros positivos, o triângulo é chamado de triângulo pitagórico.
Neste caso, os catetos e a hipotenusa são denominados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para verificar se três números formam um trio pitagórico, usamos a relação a2 = b2 + c2.
O mais conhecido trio pitagórico é representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a hipotenusa igual a 5, o cateto maior igual a 4 e o cateto menor igual a 3.

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Matemática Aplicada - Aula 10.1 - Razões trigonométricas de um triângulo retângulo

Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulo retângulo. Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, pois resultam da divisão entre as medidas dos seus lados.

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior lado, o cateto "oposto" é aquele em frente a um determinado ângulo, e um cateto "adjacente" é aquele ao lado de um determinado ângulo. 

A hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre o lado oposto ao ângulo reto. Ela é o maior lado do triângulo retângulo. Os outros dois lados são chamados cateto oposto e cateto adjacente. Esses lados são definidos em relação a um ângulo. 

O cateto oposto fica em frente a um determinado ângulo. O cateto adjacente é aquele que fica ao lado de um determinado ângulo, mas não é a hipotenusa.
O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a 90º). O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

Os valores do seno, do cosseno e da tangente são calculados em relação a um determinado ângulo agudo do triângulo retângulo.
De acordo com a posição dos catetos em relação ao ângulo, ele pode ser oposto ou adjacente, conforme imagem abaixo:
Seno (Sen alfa )
É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
sen = cateto oposto / hipotenusa
Cosseno (Cos alfa)
É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
cos = cateto adjacente / hipotenusa.
Tangente (Tg alfa)
É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
tg cateto oposto / cateto adjacente.

Resumo de Razões Trigonométricas está disponível em: 21_08_02 Razões Trigonométricas.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática Aplicada - Aula 10 - Trigonometria

História da trigonometria

A história da trigonometria surge na medida em que os astrônomos precisavam calcular o tempo, sendo também muito importante nas pesquisas sobre navegação.

Entretanto, Hiparco de Niceia, (190 a.C.-120 a.C.), astrônomo grego-otomano, foi quem introduziu a Trigonometria nos estudos científicos. Por isso, ele é considerado o fundador ou o Pai da Trigonometria. Foi somente no século XVIII que o matemático suíço Leonhard Euler conseguiu desvincular a Trigonometria da Astronomia, dando àquela o caráter de ramo independente na Matemática. O termo "trigonometria", do grego, é a união das palavras trigono (triângulo) e metrein (medidas)

Fig. 1: Circulo trigonométrico

A trigonometria é a parte da matemática que estuda as relações existentes entre os lados e os ângulos dos triângulos. Ela é utilizada também em outras áreas de estudo como física, química, biologia, geografia, astronomia, medicina, engenharia, etc.

Funções Trigonométricas: As funções trigonométricas são as funções relacionadas aos triângulos retângulos, que possuem um ângulo de 90°. São elas: seno, cosseno e tangente.

As funções trigonométricas estão baseadas nas razões existentes entre dois lados do triângulo em função de um ângulo. Ela são formadas por dois catetos (oposto e adjacente) e a hipotenusa:

• seno = cateto oposto / hipotenusa.
• cosseno = cateto adjacente / hipotenusa.
• tangente = cateto oposto / cateto adjacente.
• cotangente = cosseno / seno.
• cossecante = 1 / seno.
• secante = 1 / cosseno.

Círculo Trigonométrico: O círculo trigonométrico ou círculo unitário é usado no estudo das funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente. Alguns conceitos importantes da geometria euclidiana nos estudos da trigonometria são: Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e Lei das Tangentes.

Fig. 2: Lei dos senos

Lei dos Senos: A Lei dos Senos estabelece que num determinado triângulo, a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto, será sempre constante.

Seja ABC um triângulo qualquer, com lado a oposto ao ângulo A, lado b oposto ao ângulo B e lado c oposto ao ângulo C.

Segundo a lei dos senos, as razões entre cada lado desse triângulo e o seno dos ângulos opostos correspondentes são iguais.

Em notação matemática, para um triângulo ABC com lados opostos medindo a, b e c.

Dessa forma, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula: a / sen A = b / Sen B = c / sen C.

Lei dos Cossenos: A Lei dos Cossenos estabelece que em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados, corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Fig. 3: Lei dos cossenos

Dessa maneira, sua fórmula é representada da seguinte maneira: a² = b² + c² - 2bc cosÂ.

Dado um triângulo de lados a, b e c, com o ângulo  conhecido, a fórmula da lei dos cossenos é a² = b² + c² - 2bc cosÂ, ou seja, o comprimento do lado a é igual à soma do quadrado da medida dos lados b e c menos duas vezes o produto da medida dos lados b e c com o cosseno do ângulo oposto ao lado a. 

A lei dos cossenos é uma relação entre os lados do triângulo e o cosseno de um dos seus ângulos. Conhecida também como teorema dos cossenos, essa relação é utilizada para encontrar a medida de lados desconhecidos de um triângulo cujos valores de dois lados são conhecidos e o valor de um ângulo interno é conhecido.

Fig. 4: Lei das tangentes

Lei das Tangentes: A Lei das Tangentes estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos.

Dessa forma, para um triângulo ABC, de lados a, b, c, e ângulos α, β e γ, opostos a estes três lados, têm-se a expressão mostrada na figura 04.

A Lei das Tangentes descreve a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os lados opostos a eles, estabelecendo que a razão entre a diferença e a soma de dois lados é igual à razão entre a tangente da metade da diferença e a tangente da metade da soma dos ângulos opostos a esses lados, sendo uma extensão útil da Lei dos Senos para resolver triângulos.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras, criado pelo filósofo e matemático grego, Pitágoras de Samos, (570 a.C. - 495 a.C.), é muito utilizado nos estudos trigonométricos.

Fig. 5: Teorema de Pitágoras 

Ele prova que no triângulo retângulo, composto por um ângulo interno de 90° (ângulo reto), a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa: . O teorema de Pitágoras será estudado na aula a seguir.

Ângulos notáveis

Os ângulos notáveis são os ângulos de 30º, 45º e 60º, que são os mais comuns em questões de vestibulares e concursos. Para resolver exercícios envolvendo os ângulos notáveis, é necessário conhecer o valor do seno, do cosseno e da tangente para eles, o que pode ser conferido por meio de uma tabela trigonométrica.

© Direitos de autor. 2022: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/07/2022

Matemática Aplicada - Aula 09 - Cálculo de volume de sólidos geométricos

Figura 01 - Esfera.

De modo prático, o volume de um sólido geométrico é a medida da região do espaço limitada por sua superfície. Em termos da Matemática, volume de um sólido é um número real positivo associado ao sólidos de forma que:

• sólidos congruentes têm volumes iguais.
• se um sólido S é a reunião de dois sólidos S1 e S2 que não têm pontos internos comuns, então o volume de S é a soma dos volumes de S1 e S2.

Os sólidos são medidos por uma unidade que, em geral, é um cubo. Portanto, o volume desse cubo é 1. Se sua aresta mede 1 cm, seu volume será 1 cm³. Se sua aresta medir 1 m, seu volume será 1 m³.

Figura 02 - Sólidos geométricos.

Para calcular o volume de figuras geométricas temos que lembrar de uma coisa: cálculo de volume se aplica somente a figuras tridimensionais, que são figuras com três dimensões e, dependendo das figuras, podem ser um cálculo mais complexo.

Esfera

A esfera é um dos sólidos mais simples e básicos de todos. O cálculo de seu volume é simples, basta aplicar a fórmula, conforme mostrado na ilustração 01.

Sólidos Geométricos

O volume das demais figuras é calculado por meio da área da base, que é multiplicada por um fator.
Para algumas figuras, este fator é a altura e para outras, é um terço da altura. A seguir, veja um infográfico com algumas figuras básicas, suas características e como se calcula o volume.
Expressão do volume do paralelepípedo: V = a ⋅ b ⋅ h ;
Expressão do volume da pirâmide: V= (a ⋅ b ⋅ h) / 3 ;
Expressão do volume do cilindro: V=Ab ⋅ h ;
Expressão do volume do cone: V= 1/3 ⋅ Ab  ⋅h ;

Cálculo de volumes complexo

Quando consideramos figuras geométricas que fogem às figuras básicas, para calcular o volume, deve-se dividir a figura em vários componentes regulares e proceder ao cálculo individual, para depois somar e subtrair os volumes. 

Em muitos casos, o objeto tridimensional é uma figura plana (bidimensional) que foi extrudada. Nestes casos, o volume é a área da figura bidimensional multiplicada pela altura da extrusão. Observe alguns exemplos a seguir.

Se pegarmos uma figura plana (bidimensional) e a elevarmos, temos o que se chama de “extrusão”.

Figura 03 - Tiângulo.

Neste exemplo, começamos com um triângulo de linhas; depois, o transformamos em uma figura plana e, por último, fazemos sua extrusão.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática Aplicada - Aula 08 - Cálculo de área do cone

 O cone é formado por vértice, altura, raio e geratriz.

• Vértice: o vértice é um ponto superior que define a altura do cone;
• Altura: a altura equivale à medida do segmento de reta que inicia no centro da circunferência e termina no vértice do cone;
• Raio: é o raio da circunferência que forma a base;
• Geratriz: a geratriz é um segmento de reta que inicia em um ponto no arco da base e termina no vértice do cone. Dessa forma, a lateral cônica é formada por um conjunto de geratrizes.

Em relação às geratrizes do cone reto, temos a seguinte relação entre o raio, a altura e a geratriz do cone: g² = r² + h². Nada mais é do que a aplicação do Teorema de Pitágoras, pois a altura, o raio e a geratriz formam um triângulo retângulo em um cone reto.

Elementos da Planificação do Cone

Quando abrimos a lateral do cone e colocamos num plano, obtemos uma figura com uma parte circular com os seguintes elementos:

• Raio: o raio g da figura em questão é a geratriz do cone;
• Comprimento do arco: o setor circular da figura possui comprimento igual 2πr, que é igual ao perímetro da base do cone, ou seja, o perímetro de uma circunferência.

A área do cone faz referência a medida da superfície dessa figura geométrica espacial. Lembre-se que o cone é um sólido geométrico com uma base circular e uma ponta, a qual é chamada de vértice.

No cone é possível calcular três áreas:

Área da Base - Ab = π.r2 ; Onde: Ab: área da base; π (pi): 3,14 e r: raio.

Área Lateral -  .Al = π.r.g ; Onde: Al: área lateral, π (pi): 3,14, r: raio e g: geratriz.

Obs: A geratriz corresponde a medida da lateral do cone. Formada por qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice e a outra na base ela é calculada pela fórmula: g2 = h2 + r2 (sendo h a altura do cone e r o raio).

Área Total - At = π.r (g+r) ; Onde: At: área total, π (pi): 3,14; r: raio e g: geratriz.

Se cortarmos uma parte do cone, obtemos um cone contendo duas bases: uma parte contém o vértice do cone, chamada de base menor e a outra contém a base do cone, chamada de base maior. Esse corte no cone forma uma nova figura geométrica chamada de “tronco do cone”. Essa nova figura possui duas bases opostas e paralelas, e a altura equivale à distância entre essas bases.

Em relação a área é possível calcular:

Área da Base Menor (Ab) - Ab = π.r2

Área da Base Maior (AB) - AB = π.R2

Área Lateral (Al) - Al = π.g. (R + r)

Área Total (At) - At = AB + Ab + Al.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/09/2022

Matemática Aplicada - Exercício 07.1 - Cálculo de áreas e perímetros de figuras planas

Figura 01 - Dimensões da chapa e do trapézio.

Agora que já vimos os cálculos de áreas das figuras básicas, vamos acompanhar uma breve aplicação. Imagine que você tenha uma chapa de aço quadrada com 1 m de lado. 

Você deve usar esta chapa para recortar pedaços em formato de trapézio, de forma a obter o maior número possível de trapézios. Veja o desenho da figura 01, com as medidas do trapézio em metros.

Uma disposição possível para o plano de corte é mostrada na figura 02. 

Figura 02 - Plano de corte 01.

Vamos calcular, com base na figura anterior, qual a área total aproveitada da chapa. Como a chapa é um quadrado de 1 m de lado, sua área é: 1 m². 

O trapézio é um quadrilátero (tem 4 lados) com dois lados paralelos (diferentes) e outros dois que ligam os primeiros. Os lados paralelos são chamados de bases. Temos, então, a base maior e a base menor. A distância entre as bases é chamada de altura. Cada trapézio tem a área dada por: A = [ (Base maior + base menor) /2 ] x Altura;

Sendo sua área de: 0.0225 m². 

Pela figura 02, couberam 20 trapézios, cuja área total é 0,45 m². Isso quer dizer que mais da metade da área da chapa (0,55 m², ou 55%) está sendo desperdiçada. 

Figura 03 - Plano de corte 02.

Vamos, então, tentar de outra forma.

Note que invertemos a posição dos trapézios da segunda e quarta colunas e, por isso, coube mais uma coluna. Agora temos 25 trapézios, com área total de 0,563 m² e desperdício de 43,7%.

Figuras quaisquer

Figura 04 - Cálculo de área de uma figura qualquer.

No caso de uma figura qualquer, para calcular a sua área, é preciso subdividi-la em figuras básicas. Por exemplo: um retângulo e um semicírculo.

Após dividi-la, temos um retângulo somado a um semicírculo.

Nesse caso, a área da figura é a soma da área do retângulo com a do semicírculo. Sendo AR a área do retângulo, e ASC a área do semicírculo, portanto: A = AR +ASC

Se os valores em milímetros forem: a = 40 mm e R = 15 mm.

A área do retângulo será de  1200 mm² e a do semicírculo se á de 353 mm²

Fórmula 01 - Cálculo de área.

A área pode ser obtida aplicando os valores na fórmula, teremos uma área total de 1553 mm².

Já no próximo caso, temos uma figura mais complexa, que inclusive tem um círculo interno que representa um furo na peça. Neste caso, a área deste furo deve ser subtraída do total.

Então, para o cálculo da área da figura, devemos dividi-la em outras figuras básicas, como mostrado a seguir.

Note que agora temos figuras conhecidas, com áreas facilmente calculáveis. Temos 2 semicírculos, 1 retângulo, 1 quadrado, 1 triângulo e 1 círculo. Considerando que a identificação em cada figura equivale à sua área, então, o valor total da área desta figura é calculada por: A = S1 + R1 + Q1 + T1 + S2 - C1.

Considerando as cotas em milímetros e aplicando os valores na fórmula, temos o valor da área que resulta em A = 4.668 mm².

Note que, para figuras muito complexas, o que dá trabalho é identificar onde dividi-la para obter as figuras básicas. Mas, uma vez feito isso, o restante é apenas aplicar as fórmulas.

Fórmula 02 - Cálculo de área.

Lista de exercícios para calculo de área e volume disponível em: 21_05_01 Figura para cálculo de área , 21_05_02 Flange, 21_05_02 Duto de ar com flange e curva, 20_06_01 Carrinho de Rolimã, 20_06_02 Moldura para Espelho, 20_07_03 Aparador e 20_07_04 Painel para TV.

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Matemática Aplicada - Aula 07 - Áreas e perímetros de figuras planas

Geometria Plana e Espacial

A Geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras planas. Ou seja, aquelas que possuem comprimento e largura, sendo figuras bidimensionais (duas dimensões).

O que as difere das figuras geométricas espaciais é que estas apresentam três dimensões e incluem, portanto, o conceito de volume. 

Na geometria, os conceitos de área e perímetro são utilizados para determinar as medidas de alguma figura. Como exemplo podemos calcular área e perímetro.

Área: equivale a medida da superfície de uma figura geométrica.

Perímetro: soma das medidas de todos lados de uma figura.

Geralmente, para encontrar a área de uma figura basta multiplicar a base (b) pela altura (h). Já o perímetro é a soma dos segmentos de retas que formam a figura, chamados de lados (l).

Para encontrar esses valores é importante analisar a forma da figura. Assim, se vamos encontrar o perímetro de um triângulo, somamos as medidas dos três lados. Se a figura for um quadrado somamos as medidas dos quatro lados.

Na Geometria Espacial, que inclui os objetos tridimensionais, temos o conceito de área (área da base, área da lateral, área total) e o de volume.

O volume é determinado pela multiplicação da altura pela largura e pelo comprimento. Note que as figuras planas não possuem volume.

Áreas e Perímetros de Figuras Planas

Confira abaixo as fórmulas para encontrar a área e o perímetro das figuras planas.

Triângulo: figura fechada e plana formado por três lados.

Retângulo: figura fechada e plana formada por quatro lados. Dois deles são congruentes e os outros dois também.

Quadrado: figura fechada e plana formada por quatro lados congruentes (possuem a mesma medida).

Círculo: figura plana e fechada limitada por uma linha curva chamada de circunferência.

Atenção! π: constante de valor 3,14 e r: raio (distância entre o centro e a extremidade)

Trapézio: figura plana e fechada que possui dois lados e bases paralelas, onde uma é maior e outra menor.

Losango: figura plana e fechada composta de quatro lados. Essa figura apresenta lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.

Fórmula das Áreas das Figuras Planas

Confira acima as fórmulas para os cálculos de área.

Vale lembrar que a área e o perímetro são dois conceitos utilizados na geometria plana, no entanto, apresentam diferenças.

• Área: tamanho da superfície da figura. O valor da área será dado sempre em cm2, m2 ou km2.
• Perímetro: soma de todos os lados da figura. O valor do perímetro será dado sempre em cm, m ou km.

Matemática Aplicada - Aula 06 - Números Decimas, Fração, Razão e proporção

A igualdade entre duas razões forma uma proporção. Vale lembrar que razão é a comparação entre duas grandezas (tudo que pode ser medido, contado, como volume, massa, superfície, comprimento, velocidade, tempo, etc.). As proporções estão presentes no nosso cotidiano e são aplicadas em situações que envolvem proporcionalidade direta e inversa.

Em atividades diversas, utilizamos os números e fazemos comparação entre as grandezas. A proporção de componentes que o pedreiro tem para fazer a massa do cimento é similar à proporção que o técnico em mecânica deve ter para realizar a mistura da água com o fluido de corte.

• Fluido de corte é uma solução utilizada na usinagem de peças que tem a finalidade de reduzir o atrito, da ferramenta de corte com a peça/superfície que está sendo usinada, e diminuir a temperatura na região de corte. Ou seja, o fluido de corte lubrifica, refrigera e protege contra a oxidação, equilibrando o processo de usinagem. Para conseguir estabilizar o processo, o fluido contém uma razão de água e fluido de corte correta, geralmente indicada pelo fabricante do fluido de corte.

Proporção direta

Considerando que um motor consegue realizar trezentas voltas totais a cada dois minutos, o mesmo motor na mesma proporção, irá realizar quantas voltas em cinco minutos?

Primeiro precisamos montar a proporção e em seguida, realizar a multiplicação dos meios pelos extremos. 

Quando encontramos o valor de x, encontramos a quantidade de voltas que o motor irá realizar em 5 minutos, que serão 750 voltas.

Proporção Inversa

As proporções podem também ser inversamente proporcionais, quando alteramos uma proporção, e ocorre o inverso na outra. Se um automóvel, em velocidade constante de 80Km/h, percorre uma certa distância em 6 horas. Em quantas horas fará o mesmo percurso se diminuir a velocidade para 60Km/h?

As grandezas são inversamente proporcionais, pois, diminuindo a velocidade, aumentará o tempo de percurso. Com isso, precisaremos escrever do seguinte modo:

Confirmamos que reduzindo a velocidade para 60Km/h, o tempo de percurso irá aumentar para oito horas.

Porcentagem

A porcentagem é a razão com o denominador igual a 100 e é acompanhada pelo símbolo de porcentagem (%). 

Exemplo: Um técnico em mecânica precisa aplicar, em um parafuso normalizado, um torque de 60% do indicado para o mesmo. Sendo que é indicado para o parafuso o torque máximo de 2N, qual o torque que o técnico irá aplicar?

A razão ( 60 x 2 ) / 100 representa corresponde ao torque necessário. Então 60% de 2 N corresponde a 1,2 N.

Razão

Exemplo: Um técnico em mecânica separou 9 porcas para realizar um serviço de manutenção, no entanto ao abrir a máquina notou que era necessário substituir apenas 3 delas. Qual a razão e porcentagem representa a quantidade que ele não utilizou.

Realizando a divisão 6 / 9 (razão) temos a parte decimal 0,666  que representa a quantidade que ele não utilizou, ao fazer a multiplicação por 100 teremos a porcentagem que representa as peças não utilizadas.

Como resposta temos que não foram utilizados 66,6% das porcas que foram separadas.