Matemática Aplicada - Exercício 07.1 - Cálculo de áreas e perímetros de figuras planas

Figura 01 - Dimensões da chapa e do trapézio.

Agora que já vimos os cálculos de áreas das figuras básicas, vamos acompanhar uma breve aplicação. Imagine que você tenha uma chapa de aço quadrada com 1 m de lado. 

Você deve usar esta chapa para recortar pedaços em formato de trapézio, de forma a obter o maior número possível de trapézios. Veja o desenho da figura 01, com as medidas do trapézio em metros.

Uma disposição possível para o plano de corte é mostrada na figura 02. 

Figura 02 - Plano de corte 01.

Vamos calcular, com base na figura anterior, qual a área total aproveitada da chapa. Como a chapa é um quadrado de 1 m de lado, sua área é: 1 m². 

O trapézio é um quadrilátero (tem 4 lados) com dois lados paralelos (diferentes) e outros dois que ligam os primeiros. Os lados paralelos são chamados de bases. Temos, então, a base maior e a base menor. A distância entre as bases é chamada de altura. Cada trapézio tem a área dada por: A = [ (Base maior + base menor) /2 ] x Altura;

Sendo sua área de: 0.0225 m². 

Pela figura 02, couberam 20 trapézios, cuja área total é 0,45 m². Isso quer dizer que mais da metade da área da chapa (0,55 m², ou 55%) está sendo desperdiçada. 

Figura 03 - Plano de corte 02.

Vamos, então, tentar de outra forma.

Note que invertemos a posição dos trapézios da segunda e quarta colunas e, por isso, coube mais uma coluna. Agora temos 25 trapézios, com área total de 0,563 m² e desperdício de 43,7%.

Figuras quaisquer

Figura 04 - Cálculo de área de uma figura qualquer.

No caso de uma figura qualquer, para calcular a sua área, é preciso subdividi-la em figuras básicas. Por exemplo: um retângulo e um semicírculo.

Após dividi-la, temos um retângulo somado a um semicírculo.

Nesse caso, a área da figura é a soma da área do retângulo com a do semicírculo. Sendo AR a área do retângulo, e ASC a área do semicírculo, portanto: A = AR +ASC

Se os valores em milímetros forem: a = 40 mm e R = 15 mm.

A área do retângulo será de  1200 mm² e a do semicírculo se á de 353 mm²

Fórmula 01 - Cálculo de área.

A área pode ser obtida aplicando os valores na fórmula, teremos uma área total de 1553 mm².

Já no próximo caso, temos uma figura mais complexa, que inclusive tem um círculo interno que representa um furo na peça. Neste caso, a área deste furo deve ser subtraída do total.

Então, para o cálculo da área da figura, devemos dividi-la em outras figuras básicas, como mostrado a seguir.

Note que agora temos figuras conhecidas, com áreas facilmente calculáveis. Temos 2 semicírculos, 1 retângulo, 1 quadrado, 1 triângulo e 1 círculo. Considerando que a identificação em cada figura equivale à sua área, então, o valor total da área desta figura é calculada por: A = S1 + R1 + Q1 + T1 + S2 - C1.

Considerando as cotas em milímetros e aplicando os valores na fórmula, temos o valor da área que resulta em A = 4.668 mm².

Note que, para figuras muito complexas, o que dá trabalho é identificar onde dividi-la para obter as figuras básicas. Mas, uma vez feito isso, o restante é apenas aplicar as fórmulas.

Fórmula 02 - Cálculo de área.

Lista de exercícios para calculo de área e volume disponível em: 21_05_01 Figura para cálculo de área , 21_05_02 Flange, 21_05_02 Duto de ar com flange e curva, 20_06_01 Carrinho de Rolimã, 20_06_02 Moldura para Espelho, 20_07_03 Aparador e 20_07_04 Painel para TV.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática Aplicada - Aula 07 - Áreas e perímetros de figuras planas

Geometria Plana e Espacial

A Geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras planas. Ou seja, aquelas que possuem comprimento e largura, sendo figuras bidimensionais (duas dimensões).

O que as difere das figuras geométricas espaciais é que estas apresentam três dimensões e incluem, portanto, o conceito de volume. 

Na geometria, os conceitos de área e perímetro são utilizados para determinar as medidas de alguma figura. Como exemplo podemos calcular área e perímetro.

Área: equivale a medida da superfície de uma figura geométrica.

Perímetro: soma das medidas de todos lados de uma figura.

Geralmente, para encontrar a área de uma figura basta multiplicar a base (b) pela altura (h). Já o perímetro é a soma dos segmentos de retas que formam a figura, chamados de lados (l).

Para encontrar esses valores é importante analisar a forma da figura. Assim, se vamos encontrar o perímetro de um triângulo, somamos as medidas dos três lados. Se a figura for um quadrado somamos as medidas dos quatro lados.

Na Geometria Espacial, que inclui os objetos tridimensionais, temos o conceito de área (área da base, área da lateral, área total) e o de volume.

O volume é determinado pela multiplicação da altura pela largura e pelo comprimento. Note que as figuras planas não possuem volume.

Áreas e Perímetros de Figuras Planas

Confira abaixo as fórmulas para encontrar a área e o perímetro das figuras planas.

Triângulo: figura fechada e plana formado por três lados.

Retângulo: figura fechada e plana formada por quatro lados. Dois deles são congruentes e os outros dois também.

Quadrado: figura fechada e plana formada por quatro lados congruentes (possuem a mesma medida).

Círculo: figura plana e fechada limitada por uma linha curva chamada de circunferência.

Atenção! π: constante de valor 3,14 e r: raio (distância entre o centro e a extremidade)

Trapézio: figura plana e fechada que possui dois lados e bases paralelas, onde uma é maior e outra menor.

Losango: figura plana e fechada composta de quatro lados. Essa figura apresenta lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.

Fórmula das Áreas das Figuras Planas

Confira acima as fórmulas para os cálculos de área.

Vale lembrar que a área e o perímetro são dois conceitos utilizados na geometria plana, no entanto, apresentam diferenças.

• Área: tamanho da superfície da figura. O valor da área será dado sempre em cm2, m2 ou km2.
• Perímetro: soma de todos os lados da figura. O valor do perímetro será dado sempre em cm, m ou km.

Matemática Aplicada - Aula 06 - Números Decimas, Fração, Razão e proporção

A igualdade entre duas razões forma uma proporção. Vale lembrar que razão é a comparação entre duas grandezas (tudo que pode ser medido, contado, como volume, massa, superfície, comprimento, velocidade, tempo, etc.). As proporções estão presentes no nosso cotidiano e são aplicadas em situações que envolvem proporcionalidade direta e inversa.

Em atividades diversas, utilizamos os números e fazemos comparação entre as grandezas. A proporção de componentes que o pedreiro tem para fazer a massa do cimento é similar à proporção que o técnico em mecânica deve ter para realizar a mistura da água com o fluido de corte.

• Fluido de corte é uma solução utilizada na usinagem de peças que tem a finalidade de reduzir o atrito, da ferramenta de corte com a peça/superfície que está sendo usinada, e diminuir a temperatura na região de corte. Ou seja, o fluido de corte lubrifica, refrigera e protege contra a oxidação, equilibrando o processo de usinagem. Para conseguir estabilizar o processo, o fluido contém uma razão de água e fluido de corte correta, geralmente indicada pelo fabricante do fluido de corte.

Proporção direta

Considerando que um motor consegue realizar trezentas voltas totais a cada dois minutos, o mesmo motor na mesma proporção, irá realizar quantas voltas em cinco minutos?

Primeiro precisamos montar a proporção e em seguida, realizar a multiplicação dos meios pelos extremos. 

Quando encontramos o valor de x, encontramos a quantidade de voltas que o motor irá realizar em 5 minutos, que serão 750 voltas.

Proporção Inversa

As proporções podem também ser inversamente proporcionais, quando alteramos uma proporção, e ocorre o inverso na outra. Se um automóvel, em velocidade constante de 80Km/h, percorre uma certa distância em 6 horas. Em quantas horas fará o mesmo percurso se diminuir a velocidade para 60Km/h?

As grandezas são inversamente proporcionais, pois, diminuindo a velocidade, aumentará o tempo de percurso. Com isso, precisaremos escrever do seguinte modo:

Confirmamos que reduzindo a velocidade para 60Km/h, o tempo de percurso irá aumentar para oito horas.

Porcentagem

A porcentagem é a razão com o denominador igual a 100 e é acompanhada pelo símbolo de porcentagem (%). 

Exemplo: Um técnico em mecânica precisa aplicar, em um parafuso normalizado, um torque de 60% do indicado para o mesmo. Sendo que é indicado para o parafuso o torque máximo de 2N, qual o torque que o técnico irá aplicar?

A razão ( 60 x 2 ) / 100 representa corresponde ao torque necessário. Então 60% de 2 N corresponde a 1,2 N.

Razão

Exemplo: Um técnico em mecânica separou 9 porcas para realizar um serviço de manutenção, no entanto ao abrir a máquina notou que era necessário substituir apenas 3 delas. Qual a razão e porcentagem representa a quantidade que ele não utilizou.

Realizando a divisão 6 / 9 (razão) temos a parte decimal 0,666  que representa a quantidade que ele não utilizou, ao fazer a multiplicação por 100 teremos a porcentagem que representa as peças não utilizadas.

Como resposta temos que não foram utilizados 66,6% das porcas que foram separadas.

Matemática Aplicada - Aula 05 - A ordem das operações matemáticas

O que fazer quando temos que somar, multiplicar, subtrair  e resolver potências ao mesmo tempo? 

Para obter o resultado correto temos que seguir a regra de prioridade das operações. Essa regra define a ordem correta para resolver as diferentes partes de uma operação. Usar uma regra de ordem para fazer as operações garante que todos possamos ler e resolver um problema da mesma maneira. 

Sem uma ordem definida para as operações, as fórmulas usadas em áreas científicas ou financeiras, por exemplo, não seriam muito úteis, e seria impossível saber se uma resposta está correta numa prova de matemática. A ordem padrão é a seguinte: 

1. Agrupamentos { [ (  ) ] };
2. Expoentes e Raízes 
3. Multiplicação e Divisão
4. Adição e Subtração

Para ajudá-lo a memorizar essa ordem, pense na palavra PEMDAS, formada pela primeira letra de cada operação, em ordem.

Seguindo essa lógica, em qualquer operação matemática você deve começar resolvendo os parênteses, depois os expoentes, em seguida as multiplicações e divisões e por último a adição e a subtração. 

Quando as operações são do mesmo nível, elas devem ser resolvidas da esquerda para a direita. 

Por exemplo, se o cálculo tiver mais de um expoente, primeiro você deve solucionar o da esquerda e continuar para a direita.

Vamos dar uma olhada mais detalhadamente na ordem das operações. Isso pode parecer complicado, mas não é. Você pode resolvê-lo levando em conta a ordem das operações e usando seus conhecimentos de aritmética.

Vejamos a seguinte expressão passo por passo.

4 / 2 x 3 + ( 4 + 6 x 2 ) + 18 / 3²  - 8 

Parênteses - Sempre começamos resolvendo as operações que estão dentro dos parênteses que servem para agrupar partes de uma expressão matemática. Se houver mais de um grupo de parênteses, resolveremos primeiro os da esquerda. No nosso exemplo, só temos um grupo:

4 / 2 x 3 + ( 4 + 6 x 2 ) + 18 / 3²  - 8 

Dentro dos parênteses, você deve seguir a ordem das operações como faria em uma expressão sem eles. No nosso caso, temos duas operações: uma adição e uma multiplicação. Como a multiplicação sempre dever ser feita primeiramente, vamos começar multiplicando : 6 x 2.

4 / 2 x 3 + ( 4 + 12 ) + 18 / 3²  - 8 

Agora somamos : 4 + 12.

4 / 2 x 3 + ( 16 ) + 18 / 3²  - 8 

Reduzimos o conteúdo dos parênteses para um único número: . Como só temos um número dentro deles, podemos descartá-lo porque ele não agrupa mais nada:

4 / 2 x 3 + 16 + 18 / 3²  - 8 

Como não há mais parênteses na expressão, continuamos com os expoentes.

Potências - Agora vamos resolver todos as potências. Lembre-se de que as potências são uma forma de representar a multiplicação de um número por si mesmo várias vezes. Por exemplo, 3² é igual a 3 x 3.

Observe que só temos uma potência na nossa expressão, 3² .

4 / 2 x 3 + 16 + 18 / 3²  - 8 

Multiplicamos 2 vezes o número 3.

4 / 2 x 3 + 16 + 18 / 3 x 3  - 8 

Dessa forma a resposta de  é 9.

4 / 2 x 3 + 16 + 18 / 9  - 8 

Como não há mais operações com potências, continuamos com operações das multiplicações e das divisões.

Multiplicação e Divisão - Agora vejamos as operações de multiplicação ou divisão. Lembre-se de que a multiplicação não precisa ser feita necessariamente antes da divisão. Neste caso, as operações são resolvidas da esquerda para a direita.

Começando da esquerda precisamos primeiro resolver 4  / 2 , o resultado é 2.

4 / 2 x 3 + 16 + 18 / 9  - 8

2 x 3 + 16 + 18 / 9  - 8  

A próxima operação será : 2 x 3 , o resultado é 6.

6 + 16 + 18 / 9  - 8  

A última operação de divisão 18 / 9 é igual a 2.

6 + 16 + 18 / 9  - 8

6 + 16 + 2  - 8  

Não há mais nada para multiplicar ou dividir, então, podemos avançar para a última parte na ordem de operações: A adição e a subtração.

Adição e subtração - Nosso problema agora parece mais fácil de resolver já que só temos adições e subtrações.

Assim como fizemos com as multiplicações e com as divisões, adicionaremos e subtrairemos da esquerda para a direita. Isto significa que primeiro vamos adicionar 6 +16 . 

6 + 16 + 2  - 8  

Agora somamos 22 + 2.

22 + 2  - 8  

Só falta uma operação, 24 - 8 :

24  - 8  = 16

Pronto! já resolvemos todo o problema e a resposta é 16 .

No início, enquanto você aprende a ordem das operações, pode demorar um pouco para resolver problemas como esse, mas com a prática você se acostumará a resolvê-los na ordem correta e muito facilmente.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática Aplicada - Aula 04 - Operações Matemáticas Básica II

Radiciação

Se procuramos a “raiz quadrada de 4”, pretendemos descobrir qual é o número que, ao quadrado (o número multiplicado por si mesmo), resulta em 4. Facilmente podemos dizer que o número que procuramos é o 2, pois  2²  = 4. Por essa razão, dizemos que a radiciação é a operação inversa à potenciação. 

Os elementos que compõem a radiciação são o radical, o índice, o radicando e a raiz. O radical indica que se trata de uma radiciação, e o índice caracteriza a operação, isto é, o tipo de raiz que estamos trabalhando. Em geral, o radicando é o número sobre o qual somos questionados, e a raiz é o resultado.

Podemos resolvê-la a radiciação utilizando a fatoração. A fatoração do radicando é um procedimento que nos permite efetuar a radiciação independentemente do índice do radical e até mesmo se a radiciação não possuir raiz exata.

Fatoração

A fatoração é a decomposição de um número em uma multiplicação de números primos, chamados de fatores. Através dela podemos simplificar o cálculo da raiz. Essa é uma chance de identificar se esse número é um quadrado perfeito.

Na fatoração, sempre comece a decompor com o menor número primo possível cujo resultado da divisão seja um número inteiro. Vejamos o número 256 como exemplo:

Você pode simplificar o 2 com a raiz e multiplicar os números que sobraram (2.2.2.2 = 16). Sendo assim, a raiz quadrada de 256 é 16.

Logaritmo

Logaritmo de um número b na base a é igual ao expoente x ao qual se deve elevar a base, de modo que a potência ax seja igual a b, sendo a e b números reais e positivos e a≠1.

Desta forma, o logaritmo é a uma operação na qual queremos descobrir o expoente que uma dada base deve ter para resultar em uma certa potência.

Por esse motivo, para fazer operações com logaritmos é necessário conhecer as propriedades da potenciação.

Lê-se logaritmo de b na base a, sendo a > 0 e a ≠ 1 e b > 0.

Quando a base de um logaritmo for omitida, significa que seu valor é igual a 10. Este tipo de logaritmo é chamado de logaritmo decimal.

O logaritmo é um número e representa um dado expoente. Podemos calcular um logaritmo aplicando diretamente a sua definição.

Neste exemplo, queremos descobrir qual expoente devemos elevar o 3 para que o resultado seja igual a 81. Usando a definição, temos: log3 81 = x ⇔ 3x = 81. 

Para encontrar esse valor, podemos fatorar o número 81, conforme indicado abaixo. Substituindo o 81 por sua forma fatorada, na equação anterior, temos: 3x = 34 , como as bases são iguais, chegamos a conclusão que x = 4.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática Aplicada - Aula 03 - Operações Matemáticas Básica

As operações matemáticas são adição, subtração, multiplicação e divisão

As operações matemáticas abrangem os cálculos que são utilizados para a resolução das equações. Basicamente têm-se a adição, a subtração, a divisão e a multiplicação, que, apesar de abrangerem um raciocínio simples, são de suma importância para realização de qualquer cálculo matemático.

Em 1557, Robert Recorde , um matemático galês, escrevia um livro para ensinar álgebra a estudantes ingleses. Cansado de repetir "é igual a", decidiu usar duas linhas horizontais paralelas para representá-lo. Robert Recorde introduziu o símbolo de “igual a” em seu livro The Whetstone of Witte para evitar repetições tediosas. Ele escolheu duas linhas paralelas (=) porque, para ele, nada poderia ser mais igual do que linhas paralelas. 

Adição

Na adição existe o cálculo de adicionar números naturais a outros. Essa operação matemática também é conhecida popularmente como soma. O resultado final da adição é chamado de total ou soma e os números utilizados são as parcelas. O operador aritmético, ou seja, o sinal que indica o seu cálculo é o (+). Observe o exemplo: 6 (parcela) + 2 (parcela) = 8 (soma ou total). As propriedades da adição são:

1. Elemento neutro: zero, ou seja, qualquer número somado a zero terá como resultado ele mesmo. Ex.: 6 + 0 = 6.
2. Comutatividade: a ordem de duas parcelas não altera o resultado final. Ex.: 8 + 2 = 10 e 2 + 8 = 10.
3. Associatividade: a ordem de mais de duas parcelas também não altera o resultado, mas é necessário considerar a regra do uso dos parênteses, que significa que deve-se iniciar a adição a partir do que está dentro deles. Ex.: 8 + (2 + 1) = 11 e (8 + 2) + 1 = 11.

Números negativos e positivos: os números positivos e negativos podem ser somados, mas existem algumas regras que devem ser consideradas. Quando os números possuem sinais diferentes (negativos e positivos) o resultado acompanhará o sinal do número maior. Ex.: (-3) + 4 = 1. Já no caso de dois números negativos, o resultado também será negativo. Ex.: (-8) + (-7) = - 15.

Subtração

A subtração abrange a redução de um número por outro. Os seus elementos são: minuendo, subtraendo e diferença ou resto. O (-) é o sinal utilizado na operação. Veja o exemplo: 8 (minuendo) – 2 (subtraendo) = 6 (diferença ou resto). As propriedades da subtração são:

1. O resultado é alterado no caso de mudança na ordem de apresentação dos valores, e nesse caso a diferença terá o sinal trocado. Ex.: 8 - 2 = 6 é diferente de 2 - 8 = -6.
2. Fechamento: A diferença de dois ou mais números reais tem como resultado um número real.
3. Anulação: Quando o minuendo for igual ao subtraendo tem como resultado da diferença o 0 (zero).
4. Não existe elemento neutro.

Números negativos e positivos: Sinais iguais: soma e conserva o sinal. Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior número (maior módulo).

Os sinais + e – tornaram-se populares depois que Johannes Widmann os utilizou em seu livro Aritmética Mercantil . Widmann usou + para indicar excedente e – para indicar déficit.

Multiplicação

A Multiplicação está intimamente relacionada à adição, pois pode-se dizer que ela é a soma de um número pela quantidade de vezes que deverá ser multiplicado. O símbolo mais conhecido é o (x), mas muitas pessoas utilizam o (*) ou (.) para representar essa operação. Os nomes dados aos seus elementos são fatores e produtos. Vejamos um exemplo: 4 (fator) x 4 (fator) = 16 (produto). Observe que o exemplo também poderia ser representado: 4 + 4 + 4 + 4 = 16. As propriedades da Multiplicação são:

1. Comutatividade: a ordem dos fatores não altera o produto. Ex.: 4 x 2 = 8 e 2 x 4 = 8.
2. Associatividade: quando tem mais de dois fatores não importa a sua ordem, pois o resultado será o mesmo. Ex.: (3 x 5) x 2 = 30 ou 3 x (5 x 2) = 30
3. Distributividade: quando temos que multiplicar e somar devemos iniciar o cálculo pela multiplicação, mesmo que a soma esteja dentro de parênteses. Ex.: 2 x (3 + 3) = (2 x 3) + (2 x 3) = 6 + 6 = 12.
4. Elemento neutro: número 1, sendo que qualquer número multiplicado por ele resultará nele mesmo.

O simbolo  da multiplicação parece um "x", mas é chamado de "cruz de Santo André". William Oughtred o introduziu no mundo da matemática no século XVI.

Divisão

Nessa operação é possível dividir dois números em partes iguais. Essa operação tem os seguintes elementos: dividendo, divisor, quociente e resto. O sinal utilizado é (÷), mas podemos ver também os sinais (/) ou (:). No exemplo: 31 (dividendo) ÷ 2 (divisor) = 15 (quociente) 1 (resto). Ao dividir 31 por 2 não temos um resultado exato, sendo assim, temos o 15 como quociente e 1 de resto. As propriedades da divisão são as seguintes:

1. A ordem dos elementos altera o resultado final, pois não é comutativa. Ex.: 8 ÷ 2 = 4 é diferente de 2 ÷ 8 = 0,25.
2. Não é associativa; na divisão os parênteses devem ser resolvidos primeiro. Ex.: (6 ÷ 3) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1 é diferente de 6 ÷ (3 ÷ 3) = 6 ÷ 1 = 6.
3. Elemento neutro: número 1, ou seja, o valor dividido por ele terá como resultado ele mesmo.

Números positivos e negativos: os sinais interferem no resultado final, sendo assim, quando forem iguais ele fica positivo, mas quando forem diferentes ele ficará negativo. Ex.: +10 ÷ +5 = +2; -10 ÷ -5 = +2; +10 ÷ -5 = -2.

O símbolo (÷) foi usado pela primeira vez pelo matemático suíço Johann Rahn.

Matemática Aplicada - Aula 02 - Números Irracionais, primos e outros

Os Números Irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos que não podem ser representados por meio de frações irredutíveis.

√2  - "Constante" de Pitágoras

Figura 01  - Número √2

A descoberta dos números irracionais foi considerada um marco nos estudos da geometria. Isso porque preencheu lacunas, como por exemplo, a medida da diagonal de um quadrado de lado igual a 1. Como a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, podemos calcular essa medida usando o Teorema de Pitágoras. Com vimos, a medida da diagonal desse quadrado será √2. O problema é que o resultado desta raiz é um número decimal infinito e não periódico: √2 = 1,4142135623730950488016887....

Por mais que tentemos encontrar um valor exato da √2, só conseguimos aproximações deste valor. Considerando 28 casas decimais essa raiz pode ser escrita como: √2 = 1,4142135623730950488016887....

Imagem disponível em: √2 = 1,4142135623730950488016887....

Outros exemplos de irracionais  originados por raiz (√) são: √3 = 1,732050807568.... ; √5 = 2,236067977499... ; √7 = 2,645751311064... ;

Estes números irracionais podem ser algébrico, quando satisfaz uma equação algébrica de coeficientes inteiros. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 (√2) pode ser escrita como sendo x² - 2 = 0, então é irracional algébrico.

Os números irracionais também podem transcendentes quando não satisfazem uma equação algébrica de coeficientes inteiros.

Pi (π) -  Constante de Arquimedes

Figura 02  - Número (π ) 

O número pi (π) ou constante de Arquimedes, é o mais famoso dos números irracionais transcendentes. Seu valor é π = 3,14159265358979323846… e representa a proporção da medida da circunferência e do seu diâmetro. O número Pi é a mais antiga constante matemática que se conhece. É um número irracional, com infinitas casas decimais e não periódico.

A primeira tentativa rigorosa de encontrar (π) deve-se a um dos mais conhecidos matemáticos da Antiguidade, Arquimedes. Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados encontrou que pi seria entre um valor entre 223/71 e 22/7.

Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416.

Imagem disponível em : π = 3,1415926535897932384626433…

e - Constante de Euler

Figura 03  -  Número de Neper (e).

Um outro exemplo de irracional transcendente é o número de Neper ou constante de Euler, representado por e, sendo aproximadamente igual a 2,7182818284590452353602874...

Ela é utilizado como base dos logaritmos naturais (ln x).

A constante de Euler é número irracional positivo. Alguns problemas de equações exponenciais necessitam de alguns artifícios para a solução. Este número é representado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

A história do número e confunde-se com a história do cálculo integral e diferencial. Foi a tentativa de calcular a área de uma curva aparentemente simples y = 1 ÷ x que inspirou Newton e Leibnitz a estudarem processos infinitos, e assim toparem com o cálculo e com o número "e".

Imagem disponível em: e = 2,7182818284590452353602874...

ϕ - Número de ouro

Figura 04  - Número de ouro (ϕ).

Podemos ainda citar o número de ouro, representado por phi (ϕ). Seu valor é ϕ = 1,6180339887498948482045868... e é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega ϕ, em homenagem ao escultor Phideas, que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618.

O número de ouro é o representante matemático da perfeição na natureza. Ele é estudado desde a Antiguidade e muitas construções gregas e obras artísticas apresentam esse número como base. O número de ouro é representado pela letra grega phi e é obtido pela proporção = 1.6180339...

O número de ouro, têm fascinado intelectuais de diferentes áreas, durante pelo menos 2400 anos. Um desses intelectuais foi Leonardo Pisano (1170 – 1250), também conhecido como Fibonacci. Ele foi um dos grandes matemáticos da Idade Média e e sua contribuição para o número de ouro surgiu com o estudo sobre o crescimento da população de coelhos. 

Fibonacci percebeu que a seqüência formada pelos números de filhotes gerados mês a mês (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…), era o resultado da soma dos dois anteriores.

Fibonacci também constatou que dividindo um número pelo anterior obtêm-se resultados que convergem para esse número de ouro, 1,618. Ele então concluiu que a razão de 1,618 não só representava uma constante de crescimento de cada ninhada de coelhos, como também era uma constante universal de crescimento de cada ninhada de coelhos, como também era uma constante universal de crescimento e evolução da natureza.

Imagem disponível em: ϕ = 1,6180339887498948482045868...

Números primos

Números primos são aqueles divisíveis apenas por um e por eles mesmos. Estão presentes na Matemática desde a Antiguidade, e vários métodos foram desenvolvidos a fim de verificar se um número é de fato primo, como o Crivo de Erastóstenes.

O Crivo de Erastóstenes consiste em criar uma tabela com números que vão de 2 até o número desejado, visto que o número 1 não é primo. Em seguida, realizamos os seguintes passos:

Passo 1 – Tendo em vista as regras de divisibilidade, sabemos que o único número par primo é o número dois. Então, excluímos todos os demais pares da tabela, ou seja, os múltiplos de 2, (4,6,8,10,12,...).

Passo 2 - De acordo com as regras de divisibilidade por 3, sabemos que um número é divisível por 3 caso a soma dos algarismos também seja. Assim, vamos excluir todos os números que são múltiplos de 3, (6,9,12,15,18,...).

Passo 3 – Do critério de divisibilidade por 5, sabemos que um número é divisível por 5 caso ele termine em 0 ou em 5. Vamos excluir todos os números que terminam em 0 e em 5, (10,15,20,15,30,...).

Passo 4 – De maneira análoga, verificando o critério de divisibilidade, vamos excluir todos os múltiplos de 7, (14,21,28,35,...).

Feito todo esse processo, os números que sobrarem são os primos de 2 até o número desejado.

O estudo dos números primos acabou resultando no Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que todo número inteiro positivo e maior que 1 pode ser representado de maneira única como um produto de fatores primos. A fatoração corresponde a decomposição dos números em fatores primos.

Imagem disponível em: P (2 a 668821) : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.....

Sequência de Fibonacci

Na matemática, a Sucessão de Fibonacci (também Sequência de Fibonacci), é uma sequência de números inteiros, começando normalmente por 0 e 1, na qual, cada termo subsequente corresponde à soma dos dois anteriores.

A sequência recebeu o nome do matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci, que descreveu, no ano de 1202, o crescimento de uma população de coelhos, a partir desta.

Esta sequência já era, no entanto, conhecida na antiguidade.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155

Dividir 1 por 998.001

Amantes da matemática descobriram algo estranho acontecendo com o número 998.001: se você o divide por 1, o número decimal resultante fornecerá quase todos os números de três dígitos existentes, menos um.

Por exemplo, começa da seguinte maneira: 0.000001002003004005006… e assim por diante.

O número de três dígitos ignorado nesta estranha série indica o que está acontecendo aqui, e como essa peculiaridade matemática pode ter aplicações práticas interessantes.

O número de três dígitos que falta na equação é 998. Estranhamente, o número salta de 997 para 999.

O número 998.001 é na verdade parte de uma pequena família de números com peculiaridades matemáticas interessantes: os números que são os quadrados de noves. No caso, 998.001 é o quadrado de 999.

Se você dividir 1 por 9.801 (que é o quadrado de 99), você obterá uma resposta semelhante: todos os números de dois dígitos de uma série, exceto 98.

Se você dividir 1 por 99.980.001 (o quadrado de 9.999), você obterá todos os números de quatro dígitos menos 9.998. Da mesma forma, se você dividir 1 por 81 (o quadrado de 9), o resultado será 0,012345679012345679… – todos os números de um dígito, exceto 8, continuando nesse padrão até o infinito.

Dízima periódica

Os matemáticos podem usar seu conhecimento de como esses números funcionam para criar qualquer padrão decimal recorrente desejado (algo que também é chamado de dízima periódica). O truque é definir o número de dígitos que você deseja em cada número, depois encontrar o quadrado de um número com vários noves repetidos e dividir 1 por esse número.

Isso significa que, se você quiser obter 0,012345679 como resposta, você encontrará o quadrado de 9 e dividirá por 1 para obter 1/81.

Se você criar uma série infinita que siga o padrão 1 + 2x + 3×2 + 4×3 e x for menor que 1, toda a série será simplificada para 1 dividido pelo quadrado de 1-x. Você pode usar essa série para criar decimais recorrentes também. Por exemplo, se você definir x como 1/10, a série inteira produzirá 100/81 como resultado, o que criará uma série recorrente semelhante à descrita acima.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática Aplicada - Aula 01 - Conjuntos Numéricos Fundamentais

Figura 01 - Representação dos conjuntos numéricos.

Em Matemática, os conjuntos de maior interesse são aqueles formados por números. Há certos conjuntos numéricos que têm importância especial devido às propriedades das operações entre seus elementos. Vamos, então, estudar esses conjuntos numéricos.

Conjunto dos Números Naturais

Iniciamos nosso estudo sobre os conjuntos numéricos com o conjunto dos números naturais denotado por N.  Assim, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

Embora o zero não seja um número natural, no sentido de que tenha sido proveniente de objetos de contagens, iremos considerá-lo como um número natural, uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais.

*O zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo.

Conjunto dos Números Inteiros

O conjunto formado pelos números inteiros positivos, pelos números inteiros negativos e pelo zero é chamado conjunto dos números inteiros e denotado por Z. 

Assim, Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Os números inteiros fazem parte do nosso dia a dia. Nas contas bancárias, os créditos podem ser representados por números positivos, e os débitos por

números negativos. Assim, crédito é a quantia que se tem a receber; e débito é a quantia que se deve.

Conjunto dos Números Racionais

Número racional é todo número que pode ser escrito na forma a/b, em que a e b são inteiros quaisquer e b é diferente de zero, b ≠ 0. O conjunto dos números racionais é denotado por Q e definido formalmente por: Q = { a/b |a, b ∈ Z e b ≠ 0}

Quando falamos de número racional, devemos considerar a representação decimal obtida pela divisão de a por b, que resulta em uma dízima periódica exata ou dízima periódica infinita. Ex: Dízima periódica infinita: 1/3 = 0,3333333...

Conjunto dos Números Irracionais

Como o nome sugere, número irracional é todo número não racional, ou seja, é um número que não pode ser escrito na forma da fração a/b, sendo a e b inteiros quaisquer e b≠0, denotado por I.  É o caso das raízes não exatas e do número π, do logaritmo neperiano, etc...

Como exemplos de números irracionais, temos:  a raiz quadrada de cinco: √5 = 2, 2360679.

Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais é denotado por R. E são todos os números vistos anteriormente, ou seja, os números naturais, racionais, irracionais e inteiros, são também um número real.

Lista de exercícios disponível em: 20_05_01 Operações com Números Naturais .

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática Aplicada

A Matemática é uma ciência que relaciona a lógica com situações práticas habituais. Ela desenvolve uma constante busca pela veracidade dos fatos por meio de técnicas precisas e exatas. Ao longo da história, a Matemática foi sendo construída e aperfeiçoada, prosseguindo em constante evolução, investigando novas situações e estabelecendo relações com os acontecimentos cotidianos.

Matemática é considerada uma das ciências mais aplicadas em nosso cotidiano. Um simples olhar ao nosso redor e notamos a sua presença nas formas, nos contornos e nas medidas. As operações básicas são utilizadas constantemente, e os cálculos mais complexos são concluídos de forma prática e adequada de acordo com princípios matemáticos.

Possui uma estreita relação com as outras ciências, que buscam nos fundamentos matemáticos explicações práticas para suas teorias. Dizemos que a Matemática é a ciência das ciências.

Determinados assuntos ligados à Química, Física, Biologia, Administração, Contabilidade, Economia, Finanças, entre outras áreas de ensino e pesquisa, utilizam as bases matemáticas para estabelecer resultados concretos e objetivos.

Atualmente a Matemática é subdividida para facilitar o seu aprendizado. Podemos organizá-la da seguinte forma: Aritmética; Álgebra: Conjuntos Numéricos, Equações, Equações Algébricas, Funções, Sistemas Lineares, Progressões, Análise Combinatória, Probabilidade e Estatística; Matemática Financeira; Trigonometria e Geometria: Plana, Espacial e Analítica.

Capa - Edificações - Matemática Aplicada

Aula 01 | Unidades de medida ;

Aula 02 | Razão e porcentagem ;

Aula 03 | Grandezas proporcionais e escalas ;

Aula 04 | Equações de 1° e 2° graus ;

Aula 05 | As equações que pensam ;

Aula 06 | Ângulos ;

Aula 07 | Semelhança de triângulos ;

Aula 08 | Relações métricas no triângulo retângulo ;

Aula 09 | Relações métricas na circunferência ;

Aula 10 | Área de figuras planas ;

Aula 11 | Razões trigonométricas no triângulo retângulo ;

Aula 12 | Trigonometria na circunferência ;

Aula 13 | Lei dos senos e dos cossenos ;

Aula 14 | Prismas e pirâmides ;

Aula 15 | Cilindros, cones e esferas ;

Aula 16 | Noções de Geometria Analítica ;

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

GALILEU GALILEI

Nasceu em 1564 na Itália. Estudou medicina, mas se interessava mais pela Matemática, Física e Astronomia. 

Galileu Galilei pode ser considerado o “pai do método científico” e de outras descobertas que impactam o mundo até hoje. Entre elas estão o telescópio, por exemplo, que transformou o estudo da astronomia, e o uso da experimentação como forma de estudo, como afirma a Encyclopedia Britannica. 

Esta forma de investigar o mundo feita através de tentativa e erro, experimentos, observação direta e raciocínio lógico se contrapunha à maneira como pensadores clássicos, tais como Aristóteles, desenvolveram suas teses até então, em especial nas ciências naturais. 

Figura 01 - Julgamento de Galileu

Além disso, com o avanço em suas descobertas astronômicas, o italiano confirmou a teoria do sistema heliocêntrico copernicano (que defendia que a Terra girava em torno do Sol, e não ao contrário), fazendo com que ele se tornasse alvo da Inquisição Católica e respondesse a um processo por isso. 

Desde cedo passou a defender que o sistema planetário era heliocêntrico (o centro do sistema planetário seria o Sol), contrário aos dogmas da Igreja que imputava como geocêntrico, ou seja, que os planetas estariam girando em torno da Terra. Em 1630, Galileu publicou seu livro “Sobre os dois maiores sistemas do mundo”, em que defende abertamente o sistema heliocêntrico e apresenta as evidências que acumulara com suas observações astronômicas. Galileu foi intimado pela inquisição a comparecer a um julgamento público em Roma. Lá, foi obrigado a abjurar suas crenças e declarar arrependimento, a fim de evitar a morte na fogueira como herege. Ele fez sua declaração e foi sentenciado a prisão domiciliar, que teve de cumprir até sua morte, já totalmente cego, em 1642.

Hoje sabemos que o cientista estava correto!