Matemática Aplicada - Aula 16 - Unidades de medidas

A necessidade de medir é muito antiga e remonta à origem das civilizações. Medir é comparar uma grandeza com uma outra, de mesma natureza, adotada como padrão.
Esses padrões são as unidades de medida e, atualmente, muitos países utilizam as unidades de medida do Sistema Internacional de Unidades (SI). 

O Sistema Internacional de Unidades define como grandezas básicas:

Tabela 1: Grandezas básicas e unidades adotadas pelo SI

o tempo em segundo;

a massa em quilograma;

o comprimento em metro;

a temperatura em graus Kelvin;

a quantidade de substância em Mol;

a corrente elétrica em Ampére;

a intensidade luminosa em Candela.

Figura 1: Resultado de uma medição.

As unidades adotadas pelo SI para essas grandezas são denominadas unidades básicas, a partir das quais todas as outras são derivadas. 

Ao escrever a medida de uma grandeza, vamos utilizar um valor numérico seguido de um símbolo que indica a unidade de medida usada na medição. O valor numérico indica quantas vezes a grandeza medida é maior que a unidade utilizada.

Tabela 02 - Múltiplos e submúltiplos.

As unidades adotadas pelo Sistema Internacional podem dar origem a outras unidades pela utilização de prefixos, formando, assim, unidades múltiplas e submúltiplas destas. As novas unidades, apesar de não serem as adotadas pelo Sistema Internacional, são igualmente importantes e estão apresentadas na tabela 02.
Em vários momentos, é preciso fazer a conversão de unidades numa medida de uma grandeza. Em todas as conversões foi utilizado um princípio que pode ser enunciado da seguinte forma: Caso a unidade seja diminuída, o valor numérico da medida deve aumentar de modo a representar uma medida equivalente e vice-versa.

Para fazer a conversão de unidades, devemos utilizar as tabelas apresentadas abaixo, deslocando-se da unidade em que a medida se encontra para a unidade em que se deseja expressá-la. Depois, é só utilizar o fator de conversão adequado para cada grandeza: fator 10 para medidas de comprimentos; fator 100 para medidas de superfície; fator 1000 para medidas de volume; fator 60 para medidas de tempo e fator 10 para medidas de massa.

Unidades de comprimento

Tabela 03 - Múltiplos e submúltiplos do metro.

A unidade padrão para comprimento é o metro, indicada pelo símbolo m. Com o uso de alguns prefixos e radicais, foram criados seus múltiplos e submúltiplos decimais. Caso você precise converter uma medida de comprimento de uma unidade para outra, o fator de conversão será de 10, para cada casa a percorrer, conforme a tabela 03.

Unidades de superfície

A unidade padrão para superfície é o metro quadrado, indicada pelo símbolo m2 , que expressa o espaço existente dentro de um quadrado de lado 1m. Utilizamos os mesmos prefixos e radicais para indicar seus múltiplos e submúltiplos decimais, conforme mostra a tabela 04.

Tabela 04: Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado

O termo quadrado deve-se ao fato de que a área de uma superfície é dada pelo produto de duas dimensões. Assim, temos m x m = m2.
Caso você precise converter uma medida de superfície de uma unidade para outra, o fator de conversão será uma potência de 10, cujo expoente será dado pelo dobro do número de casas a percorrer na tabela anterior.

Unidades de volume

Normalmente, os livros didáticos fazem distinção entre as unidades de volume e as unidades de capacidade. As primeiras seriam originadas das unidades de comprimento e serviriam para expressar o espaço tridimensional ocupado por um objeto. Já as segundas teriam como unidades de medida o litro, com seus múltiplos e submúltiplos, e serviriam para expressar a capacidade de recipientes.
Creio ser mais coerente falar em unidades de volume, lembrando que, em caso de recipientes, estamos indicando o volume necessário para enchê-los com certo líquido.

Tabela 05: Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico.

O termo cúbico deve-se ao fato de que os objetos são tridimensionais e no cálculo de seu volume ocorrerá o produto dessas três dimensões. Assim, temos: m x m x m = m3.
Um metro cúbico corresponde ao espaço ocupado por um cubo de aresta 1m. As conversões de unidades nesta tabela se dão de forma análoga ao que mencionamos em unidades de área e comprimento, mas o fator de conversão será uma potência de 10, cujo expoente é o triplo de casas que devemos percorrer, conforme mostrou a tabela 05.

Resumo do Sistema Internacional de Unidades está disponível em: 20_01_02 Sistema Internacional de Unidades - SI.

Referências: <<  Matemática Aplicada. Leandro Barboza Paz, Luiz Eduardo Landim Silva, Ricardo Ferreira Paraizo. Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010 >>.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática Aplicada - Aula 15 - Grandezas físicas

Grandezas físicas são as características, ou propriedades, de algo, ou fenômeno, que podem ser medidas direta ou indiretamente. Elas podem ser: escalares ou vetoriais.

• Grandezas escalares: que se definem com apenas um valor. Por exemplo, massa e tempo;
• Grandezas vetoriais: que, além do valor, também precisam de uma direção de aplicação e um sentido de aplicação. Por exemplo, velocidade e força.

Para medir as grandezas é necessário haver uma quantidade de referência. Isso significa que deve haver uma unidade de medida para que se possa medir uma grandeza. Por exemplo, para comprarmos leite no supermercado, devemos saber quanto queremos do produto. Ex; 2 litros, neste caso, a unidade de medida é o litro.

O SI (Sistema Internacional de Unidades) estabelece sete grandezas básicas e suas respectivas unidades. São elas: o comprimento, a massa, o tempo, a corrente elétrica, a temperatura, a quantidade de substância e a intensidade luminosa. A partir das unidades de base dessas grandezas, podemos obter suas unidades derivadas.

Unidades de base

Vamos conhecer algumas grandezas físicas, suas unidades e simbologias.

• comprimento em metros;
• massa em gramas;
• tempo em segundos;
• temperatura em graus celcius.

Unidades derivadas

Volume é a grandeza física que define a quantidade de espaço ocupado por um corpo. Um corpo físico ocupa três dimensões no espaço (comprimento, largura e altura), por isso, as unidades de volume são unidades lineares elevadas à terceira potência, como metro cúbico (m3) ou milímetro cúbico (mm3). Além dessas, também há outras, como o litro (l).

Observe as dimensões de uma caixa: Perceba que a caixa tem volume de 48000 mm³. Este valor é obtido por meio da multiplicação de suas dimensões, 60 x 40 x 20, supondo que elas estejam em milímetros. 

Muitas vezes não pensamos apenas em um objeto, mas também na sua localização ou posição. E a mudança da posição nos dá a velocidade.

Velocidade é o resultado da distância para sair de um local e chegar a outro, além do tempo necessário para percorrer este percurso. De acordo com a física, velocidade é a distância percorrida por um corpo em um determinado tempo. Esta é uma grandeza vetorial, ou seja, possui um valor (ou módulo), uma direção e um sentido de aplicação. Suas unidades mais comuns são m/s e km/h.

Quando a velocidade de um objeto muda, significa que ele está submetido a uma aceleração.  Mas você sabe o que é aceleração?

Aceleração é a variação da velocidade, ou seja, a mudança na velocidade de um corpo em um determinado tempo. Esta é uma grandeza vetorial. Sua unidade mais comum é o m/s2.

Se um objeto tem uma aceleração de 2 m/s², isso significa que a cada segundo, sua velocidade aumenta em 2 m. Perceba que na medida em que aumentamos a força aplicada sobre o carro, a sua aceleração aumenta na mesma proporção.

Portanto, para haver uma aceleração, é preciso haver também uma força aplicada ao objeto.

Força é uma grandeza física que resulta na alteração do estado de um corpo. Uma das consequências da aplicação de uma força é tirar um corpo da inércia, concedendo movimento ou aceleração a ele. No entanto, embora apresente esta capacidade, nem sempre a aplicação de uma força altera o estado de movimento de um corpo. Se você empurrar uma parede, por exemplo, provavelmente não a moverá, apesar de exercer muita força sobre ela. Outra consequência comum da ação de uma força é a deformação. Se você apertar uma lata de refrigerante, certamente poderá amassá-la.

Assim, podemos definir que a força é uma grandeza vetorial que pode ser definida pela aceleração de uma massa. Suas principais unidades são o Newton (N) e o quilograma-força (kgf), além da libra-força (lbf).

Mas a força também pode resultar em pressão. 

A Pressão é considera a força e a área em que ela está sendo aplicada. Se pressionamos o dedo contra uma bola de futebol, nada acontecerá. Mas, se você empregar a mesma força para pressionar a ponta de um prego contra a mesma bola, provavelmente vamos fazer um furo na bola.

Note que a área de contato de seu dedo na bola é muito maior que a área de contato da ponta do prego contra a bola, o que faz toda a diferença. Ou seja, podemos dizer que se um corpo tem a sua massa acelerada contra uma área, está ocorrendo pressão. O que, de forma sucinta, define pressão como a força aplicada em uma área.

As unidades de pressão são as unidades de força divididas por unidades de área. As mais comuns são: o Pascal (Pa), que equivale ao (N/m²) e seus múltiplos (MPa e GPa), além de kgf/mm², kgf/cm², lbf/in² (psi).

A ideia de pressão frequentemente está associada à temperatura, pois uma interfere sobre a outra. A panela de pressão, por exemplo, utiliza a pressão para aumentar sua temperatura interna.

A pressão em fluidos que não estejam confinados, no entanto, provoca um escoamento, ou seja, uma vazão do fluido. Quando abrimos uma torneira, por exemplo, a pressão da água no encanamento permite que ela escoe pela torneira.

Vazão é a grandeza vetorial usada para controle ou medição do escoamento de líquidos e gases. A vazão pode ser entendida como o volume de um determinado fluido que passa por uma seção de controle em um determinado tempo.

Suas unidades são de volume por tempo, como m³/s, l / h e outras. Os fluidos podem ter sua vazão por tubos ou por canais abertos, como em um rio. Observe alguns tipos de tubos e conexões usados em escoamento de fluidos.

Matemática aplicada - Aula 14 - Equação

Equações são afirmações matemáticas que contêm duas expressões algébricas separadas por um sinal de igualdade (=). Elas demonstram a relação de igualdade entre a expressão escrita à esquerda e a expressão escrita à direita. Em toda equação matemática, temos (Lado esquerdo = Lado direito).

Uma equação é uma expressão matemática que utiliza o símbolo de "igual a" entre duas expressões com valores iguais. Por exemplo, 3x + 5 = 15. Existem diferentes tipos de equações, como as lineares, quadráticas, cúbicas, etc.  

Equações podem ser resolvidas para encontrar o valor de uma variável desconhecida que representa uma grandeza desconhecida. Se não houver o símbolo de igualdade na afirmação, significa que não se trata de uma equação, mas sim de uma expressão.
Uma equação é composta por diferentes partes, incluindo coeficientes, variáveis, operadores, constantes, termos, expressões e o sinal de igual (= ). Ao escrever uma equação, é obrigatório o uso do sinal "=" e a presença de termos em ambos os lados. Ambos os lados devem ser iguais.

Uma equação é como uma balança com pesos iguais em ambos os lados. Se somarmos ou subtrairmos o mesmo número de ambos os lados de uma equação, ela permanece válida. Da mesma forma, se multiplicarmos ou dividirmos o mesmo número em ambos os lados de uma equação, ela permanece válida. 

Considere a equação de uma reta , 2x + 9 = 24. 

Realizaremos operações matemáticas no lado esquerdo e no lado direito para que o equilíbrio não seja perturbado. Vamos subtrair 9 em ambos os lados para reduzir o lado esquerdo a 2x. Isso não perturbará o equilíbrio. O novo lado esquerdo (LHS) é 2x + 9 − 9 = 2x e o novo lado direito (RHS) é 24 - 9 = 15. Portanto, a equação se torna 2x = 15. Agora, vamos dividir ambos os lados por 2 para reduzir o lado esquerdo  a x. Assim, a solução da equação da reta dada é x = 7,5.

Os passos para resolver uma equação básica com uma variável (linear) são apresentados a seguir:

• Passo 1: Junte todos os termos com variáveis ​​de um lado da equação e todas as constantes do outro lado, aplicando operações aritméticas em ambos os lados.
• Passo 2: Combine todos os termos semelhantes (termos que contêm a mesma variável com o mesmo expoente) somando-os ou subtraindo-os.
• Passo 3: Simplifique e obtenha a resposta.

Vejamos mais um exemplo de uma equação básica: 3x - 20 = 7. Para colocar todas as constantes no lado direito da equação, precisamos adicionar 20 a ambos os lados. Isso implica em 3x - 20 + 20 = 7 + 20, que pode ser simplificado para 3x = 27. Agora, dividimos ambos os lados por 3. Isso nos dará x = 9, que é a solução desejada da equação.

Tipos de equações

De acordo com o grau de complexidade, as equações podem ser classificadas em três tipos. A seguir, os três tipos de equações em matemática:

• Equações Lineares
• Equações Quadráticas
• Equações Exponenciais
• Equações Cúbicas
• Equação Linear

Equações Lineares

Equações com grau 1 são conhecidas como equações lineares em matemática. Nessas equações, 1 representa o maior expoente dos termos. Elas podem ser classificadas em equações lineares com uma variável , equações lineares com duas variáveis , equações lineares com três variáveis, etc. A forma padrão de uma equação linear com variáveis ​​X e Y é aX + bY - c = 0, onde a e b são os coeficientes de X e Y, respectivamente, e c é uma constante.

Equação Quadrática
Equações de grau 2 são conhecidas como equações quadráticas . A forma padrão de uma equação quadrática com variável x é ax² + bx + c = 0, onde a ≠ 0. Essas equações podem ser resolvidas por decomposição do termo do meio, completando o quadrado ou pelo método discriminante .

Equações Cúbicas
Equações de grau 3 são conhecidas como equações cúbicas . Aqui, 3 é o maior expoente de pelo menos um dos termos. A forma padrão de uma equação cúbica com variável x é ax³ + bx² + cx + d = 0, onde a ≠ 0.

Notas importantes sobre equações em matemática:

• Os valores da variável que tornam uma equação verdadeira são chamados de solução ou raiz da equação. 
• A solução de uma equação não é afetada se o mesmo número for adicionado, subtraído, multiplicado ou dividido em ambos os lados da equação.
• O gráfico de uma equação linear com uma ou duas variáveis ​​é uma linha reta .
• A curva da equação quadrática tem a forma de uma parábola .

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática Aplicada - Aula 13 - Função Exponencial e logarítmica.

Função exponencial

Função exponencial crescente e decrescente

A equação exponencial é um caso particular de equação. Equação é uma sentença matemática que possui igualdade e, pelo menos, uma incógnita. Resolver equações é encontrar os valores que fazem com que a sentença matemática seja verdadeira, e com as equações exponenciais não é diferente.

Buscamos encontrar o valor para a incógnita que faz com que a igualdade seja válida, para isso utilizamos técnicas de equação e as propriedades de potência, com o objetivo de igualar as bases dos dois lados da igualdade para que seja possível igualar os expoentes da equação.

Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um.

Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante.

Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria definida.

Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor.

Exemplos:

f(x) = 4x
f(x) = (0,1)x
f(x) = (⅔)x

Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.

Tabela função exponencial
crescente

O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x.

Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).

Abaixo representamos o gráfico da função exponencial.

Função Crescente ou Decrescente

A função exponencial pode ser crescente ou decrescente.

Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é uma função crescente.

Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.

Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua imagem também aumenta, como apresentado no primeiro gráfico.

Tabela função exponencial
decrescente

Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.

Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na tabela abaixo.

Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.

Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto maior o x, mais perto do zero a curva exponencial fica.

Função logarítmica

A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é definida como:

 f(x) = logax , com a real positivo e a ≠ 1.

Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, y = logax ⇔ ay = x.

Função exponencial e logarítmica

Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.

Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função logarítmica.

No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática aplicada - Aula 12 - Produtos Notáveis

Certos produtos aparecem com bastante frequência no cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por exemplo. Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz, significa: produto _ “resultado da multiplicação”, e notável _ “que se destaca”. O único problema é que, às vezes, eles aparecem e a gente nem nota!

Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva, ou então, de forma mais direta, através de algumas regras que veremos a seguir.

Quadrado da Soma de dois Termos 

Quadrado da Soma de dois Termos pode ser calculado através da propriedade distributiva.

Então temos: (a + b)² = a² + 2ab + b²; 

Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 






Quadrado da Diferença de dois Termos 

Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos.

Então temos: (a + b)² = a² - 2ab + b²;

Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. 

Produto da Soma e Diferença de dois Termos

O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores.

Portanto: (a + b) x (a – b) = a² – b².

Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”.






Cubo da soma de dois termos

Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para produtos com o seguinte formato: (a + b) (a + b) (a + b);

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a + b)³

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos
o seguinte para esse produto notável:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³




Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios: (a - b) (a - b) (a - b). 

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (a - b)³

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável:
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³





CURIOSIDADE: 

* Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos. 
Veja: Qual o produto de (41) x (39)?
Transformando a multiplicação para um produto notável, temos: (40 + 1) x (40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599.

**Podemos escrever qualquer número natural como uma soma. Assim, quando tivermos de calcular o quadrado de um número natural, o quadrado da soma poderá ser utilizado para simplificar os cálculos. 

Veja: 24² = (20 + 4)² = 20² + 2 . 20 . 4 + 4² = 400 + 160 + 16 = 576

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/202

Matemática Aplicada - Aula 10.2 - Teorema de Pitágoras

Ao falarmos sobre o Teorema de Pitágoras, estamos fazendo referência a um dos mais famosos teoremas da Matemática haja vista a sua aplicação a problemas do cotidiano, como por exemplo, no cálculo de um dos lados de um triângulo retângulo.
Vale ressaltar que apesar do teorema levar o seu nome, Pitágoras de Samos, o mesmo não teria sido descoberto por ele, pois, existem registros datados de 1.800 a.C., que mostram que a medida dos lados dos triângulos já era conhecido pelos babilônios, porém foi Pitágoras quem conseguiu transformar esse conhecimento em uma teoria bem fundamentada e sendo até hoje por nós utilizada.

O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Essa figura geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto.
É usado para determinar a medida desconhecida de um lado, uma vez conhecidas as medidas dos outros dois lados.
O enunciado desse teorema é: “A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.”
Em forma de equação, a fórmula do Teorema de Pitágoras é: .

Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros positivos, o triângulo é chamado de triângulo pitagórico.
Neste caso, os catetos e a hipotenusa são denominados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para verificar se três números formam um trio pitagórico, usamos a relação a2 = b2 + c2.
O mais conhecido trio pitagórico é representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a hipotenusa igual a 5, o cateto maior igual a 4 e o cateto menor igual a 3.

© Direitos de autor. 2022: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/07/2022

Matemática Aplicada - Aula 10.1 - Razões trigonométricas de um triângulo retângulo

Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo são relações entre os lados de um triângulo retângulo. Essas relações são chamadas de razões trigonométricas, pois resultam da divisão entre as medidas dos seus lados.

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior lado, o cateto "oposto" é aquele em frente a um determinado ângulo, e um cateto "adjacente" é aquele ao lado de um determinado ângulo. 

A hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre o lado oposto ao ângulo reto. Ela é o maior lado do triângulo retângulo. Os outros dois lados são chamados cateto oposto e cateto adjacente. Esses lados são definidos em relação a um ângulo. 

O cateto oposto fica em frente a um determinado ângulo. O cateto adjacente é aquele que fica ao lado de um determinado ângulo, mas não é a hipotenusa.
O triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno reto (igual a 90º). O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

Os valores do seno, do cosseno e da tangente são calculados em relação a um determinado ângulo agudo do triângulo retângulo.
De acordo com a posição dos catetos em relação ao ângulo, ele pode ser oposto ou adjacente, conforme imagem abaixo:
Seno (Sen alfa )
É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
sen = cateto oposto / hipotenusa
Cosseno (Cos alfa)
É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
cos = cateto adjacente / hipotenusa.
Tangente (Tg alfa)
É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de um triângulo retângulo. Essa relação é calculada através da fórmula:
tg cateto oposto / cateto adjacente.

Resumo de Razões Trigonométricas está disponível em: 21_08_02 Razões Trigonométricas.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática Aplicada - Aula 10 - Trigonometria

História da trigonometria

A história da trigonometria surge na medida em que os astrônomos precisavam calcular o tempo, sendo também muito importante nas pesquisas sobre navegação.

Entretanto, Hiparco de Niceia, (190 a.C.-120 a.C.), astrônomo grego-otomano, foi quem introduziu a Trigonometria nos estudos científicos. Por isso, ele é considerado o fundador ou o Pai da Trigonometria. Foi somente no século XVIII que o matemático suíço Leonhard Euler conseguiu desvincular a Trigonometria da Astronomia, dando àquela o caráter de ramo independente na Matemática. O termo "trigonometria", do grego, é a união das palavras trigono (triângulo) e metrein (medidas)

Fig. 1: Circulo trigonométrico

A trigonometria é a parte da matemática que estuda as relações existentes entre os lados e os ângulos dos triângulos. Ela é utilizada também em outras áreas de estudo como física, química, biologia, geografia, astronomia, medicina, engenharia, etc.

Funções Trigonométricas: As funções trigonométricas são as funções relacionadas aos triângulos retângulos, que possuem um ângulo de 90°. São elas: seno, cosseno e tangente.

As funções trigonométricas estão baseadas nas razões existentes entre dois lados do triângulo em função de um ângulo. Ela são formadas por dois catetos (oposto e adjacente) e a hipotenusa:

• seno = cateto oposto / hipotenusa.
• cosseno = cateto adjacente / hipotenusa.
• tangente = cateto oposto / cateto adjacente.
• cotangente = cosseno / seno.
• cossecante = 1 / seno.
• secante = 1 / cosseno.

Círculo Trigonométrico: O círculo trigonométrico ou círculo unitário é usado no estudo das funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente. Alguns conceitos importantes da geometria euclidiana nos estudos da trigonometria são: Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e Lei das Tangentes.

Fig. 2: Lei dos senos

Lei dos Senos: A Lei dos Senos estabelece que num determinado triângulo, a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto, será sempre constante.

Seja ABC um triângulo qualquer, com lado a oposto ao ângulo A, lado b oposto ao ângulo B e lado c oposto ao ângulo C.

Segundo a lei dos senos, as razões entre cada lado desse triângulo e o seno dos ângulos opostos correspondentes são iguais.

Em notação matemática, para um triângulo ABC com lados opostos medindo a, b e c.

Dessa forma, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula: a / sen A = b / Sen B = c / sen C.

Lei dos Cossenos: A Lei dos Cossenos estabelece que em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados, corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Fig. 3: Lei dos cossenos

Dessa maneira, sua fórmula é representada da seguinte maneira: a² = b² + c² - 2bc cosÂ.

Dado um triângulo de lados a, b e c, com o ângulo  conhecido, a fórmula da lei dos cossenos é a² = b² + c² - 2bc cosÂ, ou seja, o comprimento do lado a é igual à soma do quadrado da medida dos lados b e c menos duas vezes o produto da medida dos lados b e c com o cosseno do ângulo oposto ao lado a. 

A lei dos cossenos é uma relação entre os lados do triângulo e o cosseno de um dos seus ângulos. Conhecida também como teorema dos cossenos, essa relação é utilizada para encontrar a medida de lados desconhecidos de um triângulo cujos valores de dois lados são conhecidos e o valor de um ângulo interno é conhecido.

Fig. 4: Lei das tangentes

Lei das Tangentes: A Lei das Tangentes estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos.

Dessa forma, para um triângulo ABC, de lados a, b, c, e ângulos α, β e γ, opostos a estes três lados, têm-se a expressão mostrada na figura 04.

A Lei das Tangentes descreve a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os lados opostos a eles, estabelecendo que a razão entre a diferença e a soma de dois lados é igual à razão entre a tangente da metade da diferença e a tangente da metade da soma dos ângulos opostos a esses lados, sendo uma extensão útil da Lei dos Senos para resolver triângulos.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras, criado pelo filósofo e matemático grego, Pitágoras de Samos, (570 a.C. - 495 a.C.), é muito utilizado nos estudos trigonométricos.

Fig. 5: Teorema de Pitágoras 

Ele prova que no triângulo retângulo, composto por um ângulo interno de 90° (ângulo reto), a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa: . O teorema de Pitágoras será estudado na aula a seguir.

Ângulos notáveis

Os ângulos notáveis são os ângulos de 30º, 45º e 60º, que são os mais comuns em questões de vestibulares e concursos. Para resolver exercícios envolvendo os ângulos notáveis, é necessário conhecer o valor do seno, do cosseno e da tangente para eles, o que pode ser conferido por meio de uma tabela trigonométrica.

© Direitos de autor. 2022: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/07/2022

Matemática Aplicada - Aula 09 - Cálculo de volume de sólidos geométricos

Figura 01 - Esfera.

De modo prático, o volume de um sólido geométrico é a medida da região do espaço limitada por sua superfície. Em termos da Matemática, volume de um sólido é um número real positivo associado ao sólidos de forma que:

• sólidos congruentes têm volumes iguais.
• se um sólido S é a reunião de dois sólidos S1 e S2 que não têm pontos internos comuns, então o volume de S é a soma dos volumes de S1 e S2.

Os sólidos são medidos por uma unidade que, em geral, é um cubo. Portanto, o volume desse cubo é 1. Se sua aresta mede 1 cm, seu volume será 1 cm³. Se sua aresta medir 1 m, seu volume será 1 m³.

Figura 02 - Sólidos geométricos.

Para calcular o volume de figuras geométricas temos que lembrar de uma coisa: cálculo de volume se aplica somente a figuras tridimensionais, que são figuras com três dimensões e, dependendo das figuras, podem ser um cálculo mais complexo.

Esfera

A esfera é um dos sólidos mais simples e básicos de todos. O cálculo de seu volume é simples, basta aplicar a fórmula, conforme mostrado na ilustração 01.

Sólidos Geométricos

O volume das demais figuras é calculado por meio da área da base, que é multiplicada por um fator.
Para algumas figuras, este fator é a altura e para outras, é um terço da altura. A seguir, veja um infográfico com algumas figuras básicas, suas características e como se calcula o volume.
Expressão do volume do paralelepípedo: V = a ⋅ b ⋅ h ;
Expressão do volume da pirâmide: V= (a ⋅ b ⋅ h) / 3 ;
Expressão do volume do cilindro: V=Ab ⋅ h ;
Expressão do volume do cone: V= 1/3 ⋅ Ab  ⋅h ;

Cálculo de volumes complexo

Quando consideramos figuras geométricas que fogem às figuras básicas, para calcular o volume, deve-se dividir a figura em vários componentes regulares e proceder ao cálculo individual, para depois somar e subtrair os volumes. 

Em muitos casos, o objeto tridimensional é uma figura plana (bidimensional) que foi extrudada. Nestes casos, o volume é a área da figura bidimensional multiplicada pela altura da extrusão. Observe alguns exemplos a seguir.

Se pegarmos uma figura plana (bidimensional) e a elevarmos, temos o que se chama de “extrusão”.

Figura 03 - Tiângulo.

Neste exemplo, começamos com um triângulo de linhas; depois, o transformamos em uma figura plana e, por último, fazemos sua extrusão.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/02/2020

Matemática Aplicada - Aula 08 - Cálculo de área do cone

 O cone é formado por vértice, altura, raio e geratriz.

• Vértice: o vértice é um ponto superior que define a altura do cone;
• Altura: a altura equivale à medida do segmento de reta que inicia no centro da circunferência e termina no vértice do cone;
• Raio: é o raio da circunferência que forma a base;
• Geratriz: a geratriz é um segmento de reta que inicia em um ponto no arco da base e termina no vértice do cone. Dessa forma, a lateral cônica é formada por um conjunto de geratrizes.

Em relação às geratrizes do cone reto, temos a seguinte relação entre o raio, a altura e a geratriz do cone: g² = r² + h². Nada mais é do que a aplicação do Teorema de Pitágoras, pois a altura, o raio e a geratriz formam um triângulo retângulo em um cone reto.

Elementos da Planificação do Cone

Quando abrimos a lateral do cone e colocamos num plano, obtemos uma figura com uma parte circular com os seguintes elementos:

• Raio: o raio g da figura em questão é a geratriz do cone;
• Comprimento do arco: o setor circular da figura possui comprimento igual 2πr, que é igual ao perímetro da base do cone, ou seja, o perímetro de uma circunferência.

A área do cone faz referência a medida da superfície dessa figura geométrica espacial. Lembre-se que o cone é um sólido geométrico com uma base circular e uma ponta, a qual é chamada de vértice.

No cone é possível calcular três áreas:

Área da Base - Ab = π.r2 ; Onde: Ab: área da base; π (pi): 3,14 e r: raio.

Área Lateral -  .Al = π.r.g ; Onde: Al: área lateral, π (pi): 3,14, r: raio e g: geratriz.

Obs: A geratriz corresponde a medida da lateral do cone. Formada por qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice e a outra na base ela é calculada pela fórmula: g2 = h2 + r2 (sendo h a altura do cone e r o raio).

Área Total - At = π.r (g+r) ; Onde: At: área total, π (pi): 3,14; r: raio e g: geratriz.

Se cortarmos uma parte do cone, obtemos um cone contendo duas bases: uma parte contém o vértice do cone, chamada de base menor e a outra contém a base do cone, chamada de base maior. Esse corte no cone forma uma nova figura geométrica chamada de “tronco do cone”. Essa nova figura possui duas bases opostas e paralelas, e a altura equivale à distância entre essas bases.

Em relação a área é possível calcular:

Área da Base Menor (Ab) - Ab = π.r2

Área da Base Maior (AB) - AB = π.R2

Área Lateral (Al) - Al = π.g. (R + r)

Área Total (At) - At = AB + Ab + Al.

© Direitos de autor. 2020: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 22/09/2022